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2020惠城区九年级上期末数学备考训练相似与旋转一．选择题（共14小题）1．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝1，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：12．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：23．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：164．在直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点成中心对称的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）5．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE＝2，CE＝3，AD＝3，则BC的长度是（）A．2B．3C．4.5D．66．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：168．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（）A．40°B．70°C．110°D．140°9．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为（）A．12mB．3mC．mD．m10．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（1，2），B（1，1），C（3，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则点A旋转到点A'所经过的路线长为（）A．B．C．D．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：16B．1：9C．1：4D．1：213．如图，已知A（1，4），B（3，4），C（﹣2，﹣1），D（1，﹣1），那么△ABE与△CDE的面积比是（）A．B．C．D．14．如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（）A．B．C．D．4二．填空题（共9小题）15．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．16．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转，得到△AB'C'，点C恰好在B'C'上，旋转角为α，则∠C'的度数为（用含α的式子表示）．17．如图，在平面直角坐标系中，△COD可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程：．18．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE．请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是（写出一个即可）．19．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于．20．如图所示，CB∥DE，BD、CE相交于点A，若AE＝2AC，则△ABC与△ADE的面积比是．21．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为．22．将直角边为12cm的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，那么图中阴影部分面积是cm2．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（0，3），对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是，第（2011）个三角形的直角顶点坐标是．三．解答题（共27小题）24．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．25．M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C′PB′，当射线PC′经过点D时，射线PB′与BC交于点N．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BPN∽△CPD；（3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．26．小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'．求证：△ABC∽△A'B'C'．证明：在线段A'B'上截取A'D＝AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E．由此得到△A'DE∽△A'B'C'．∴∠A'DE＝∠B'．∵∠B＝∠B'，∴∠A'DE＝∠B．∵∠A'＝∠A，∴△A'DE≌△ABC．∴△ABC∽△A'B'C'．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据，可以判定所作△A'DE与；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A'DE与；（3）最后，可证得△ABC∽△A'B'C'．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为．28．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长．29．△ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．（1）如图1，若∠B＝30°，∠CFE的度数为；（2）如图2，当30°＜∠B＜60°时，①依题意补全图2；②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明．30．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝，AD＝1，求DB的长．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF．请在第一象限内，画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为，点B的对应点E的坐标为．32．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB边上的一点，且tanB＝，点D为AC边上的动点（不与点A，C重合），将线段OD绕点O顺时针旋转90°，交BC于点E．（1）如图1，若O为AB边中点，D为AC边中点，则的值为；（2）若O为AB边中点，D不是AC边的中点，①请根据题意将图2补全；②小军通过观察、实验，提出猜想：点D在AC边上运动的过程中，（1）中的值不变．小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法：想法1：过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA．想法2：分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求的值，需证明△OGE∽△OHD．想法3：连接OC，DE，要求的值，需证C，D，O，E四点共圆．…请你参考上面的想法，帮助小军写出求（3）若＝（n≥2且n为正整数），则的值为（用含n的式子表示）．33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE＝2，BC＝3，AC＝6，求AE的长．34．如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：．35．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．36．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC，若AD＝2，AB＝6，求AC的长．37．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F．（1）画出旋转后的三角形．（2）在（1）的条件下，①求EF的长；②求点E经过的路径弧EF的长．38．△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α（0°＜α≤90°），点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．（1）如图①，α＝90°，点D在AB上，则∠FPG＝°；（2）如图②，α＝60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；（3）连接FG，若AB＝5，AD＝2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当PF的长最大时，FG的长为（用含α的式子表示）．39．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点处．（1）以点A为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB′C′；（2）在（1）的条件下，求点C运动到点C′所经过的路径长．40．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1）．（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；（2）在（1）的条件下，写出点A的对应点C的坐标为，点B的对应点D的坐标为．41．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，AB＝，AD⊥AC，连接CD．点E在AC上，AE＝AC，过点E作MN⊥AC，分别交AB、CD于点M、N．（1）求ME的长；（2）当AD＝3时，求四边形ADNE的周长．42．将△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DBE，直线DE与直线AC相交于点F，连接BF．（1）如图1，若α＝60°，DF＝2AF，请直接写等于；（2）若DF＝mAF，（m＞0，且m≠1）①如图2，求；（用含α，m的式子表示）②如图3，依题意补全图形，请直接写出等于．（用含α，m的式子表示）43．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB＝9，BF＝7，求DE长．44．在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB＝4．（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形△OA′B′；（2）求点A在旋转过程中经过的路径长．45．如图，▱ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F．（1）求证：△EBC∽△CDF；（2）若BC＝8，CD＝3，AE＝1，求AF的长．46．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．（1）若点A（，3），则A′的坐标为；（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝．47．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D、E