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2020惠城区九年级上期末数学备考训练相似与旋转参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝1，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∵，∴，故选：B．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，∴其相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．4．在直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点成中心对称的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：点（3，1）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，﹣1），故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．5．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE＝2，CE＝3，AD＝3，则BC的长度是（）A．2B．3C．4.5D．6【分析】根据AD∥BC，推出△ADE∽△BCE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，∴，即：，∴BC＝，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；即可得出结果．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，①正确；∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACB，②正确；∵∠A＝∠A，，∴△ADE∽△ACB，④正确；由，或AC2＝AD•AE不能证明△ADE与△ACB相似．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16【分析】由DE与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∵AD：AB＝1：3，∴S△ADE：S△ABC＝AD2：AB2＝1：9．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（）A．40°B．70°C．110°D．140°【分析】根据内心的定义即可求得∠IBC+∠ICB，然后根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∵点I是△ABC的内心，∴∠IBC＝∠ABC＝35°，∠ICB＝∠ACB＝35°，∴∠IBC+∠ICB＝70°，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝110°．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的内心的计算，正确理解∠IBC＝∠ABC＝35°，∠ICB＝∠ACB＝35°是关键．9．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为（）A．12mB．3mC．mD．m【分析】由题意可知△AEB∽△CED，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出处宽CD的长．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AEB∽△CED，∴，∴∴CD＝m．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的应用，用到的知识点是：对应高之比等于相似比．10．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（1，2），B（1，1），C（3，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则点A旋转到点A'所经过的路线长为（）A．B．C．D．【分析】求出半径OA，然后利用弧长的计算公式即可求解．【解答】解：连接OA．则OA＝＝．则点A旋转到点A'所经过的路线长为＝π．【点评】本题考查了弧长的计算公式，正确理解计算公式是解题的关键．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．【解答】解：当点Q在AC上时，y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；当点Q在BC上时，如下图所示，∵AP＝x，AB＝5，∴BP＝5﹣x，又cosB＝，∵△ABC∽QBP，∴PQ＝BP＝∴S△APQ＝AP•PQ＝x•＝﹣x2+x，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：16B．1：9C．1：4D．1：2【分析】由于D，E分别是AB，AC边上的中点，利用三角形中位线定理可知DE∥BC，＝，再利用平行线分线段成比例定理的推论易证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方可求两个三角形面积比．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE∥BC，＝，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、三角形中位线定理．13．如图，已知A（1，4），B（3，4），C（﹣2，﹣1），D（1，﹣1），那么△ABE与△CDE的面积比是（）A．B．C．D．【分析】由于点A与点B的纵坐标相同，可知AB⊥y轴，同理CD⊥y轴，则AB∥CD，易证△ABE∽△DCE，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，得出△ABE与△CDE的面积比是（AB：CD）2．【解答】解：∵A（1，4），B（3，4），即点A与点B的纵坐标相同，∴AB⊥y轴，且AB＝2，同理CD⊥y轴，CD＝3，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE，∴△ABE与△CDE的面积比＝（AB：CD）2＝（2：3）2＝4：9．故选：C．【点评】本题结合平面直角坐标系考查了相似三角形的判定及性质．有两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形面积的比等于相似比的平方．14．如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（）A．B．C．D．4【分析】根据相似三角形的判定首先证出△ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得出AE：AB＝AD：AC，从而求出AE的长度．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴AE：AB＝AD：AC，又∵AD＝3，AC＝6，DB＝5，∴AB＝AD+DB＝8，∴AE＝8×3÷6＝4．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质．有两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．二．填空题（共9小题）15．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．【分析】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，x＝，故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．16．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转，得到△AB'C'，点C恰好在B'C'上，旋转角为α，则∠C'的度数为90°﹣（用含α的式子表示）．【分析】根据旋转的性质可得AC＝AC′，∠CAC′＝α，∠C＝∠C′，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC绕着点A顺时针方向旋转α得到△AB'C'，∴AC＝AC′，∠CAC′＝α，∠C＝∠C′，∴∠C′＝（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠C'＝90°﹣．故答案为：90°﹣．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，旋转前后对应边相等，对应角相等．17．如图，在平面直角坐标系中，△COD可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程：以原点O为位似中心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD．【分析】根据位似和对称进行解答即可．【解答】解：以原点O为位似中心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD，故答案为：以原点O为位似中心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD【点评】考查了坐标与图形变化﹣位似，对称，解题时需要注意：位似比和位似中心．18．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE．请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是∠ADE＝∠B（写出一个即可）．【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，∴当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE＝∠B．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．19．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于．【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出BC＝AD＝2AE，求出△AFE∽△CFB，根据相似三角形的性质得出