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2020惠城区九年级上册期末数学备考训练解直角三角形参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sinA的值是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据正弦的定义解得即可．【解答】解：BA＝＝5，∴sinA＝＝．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（）A．B．C．D．1【分析】先在图中找出∠ABC所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠ABC的值．【解答】解：如图，在直角△ABD中，AD＝3，BD＝4，则tan∠ABC＝＝．故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosα＝进而求出即可．【解答】解：如图所示：∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴cosα＝＝．故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA＝，那么tanA的值是（）A．B．C．D．【分析】设BC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理求出AC＝3x，代入tanA＝求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴设AC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理得：BC＝3x，tanA＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和同角的三角函数值的关系的应用，注意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA＝，tanA＝．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．【分析】由点A的坐标为（4，3），那么OA＝＝5，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由点A的坐标为（4，3），那么OA＝＝5，∴cosα的值为A的横坐标：OA＝4：5，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．二．解答题（共15小题）6．计算：2sin45°+tan60°+2cos30°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝2×++2×﹣2＝．【点评】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB＝．（1）求AD和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【分析】（1）由中点定义求BC＝4，根据tanB＝得：AC＝3，由勾股定理得：AB＝5，AD＝；（2）作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数定义求结果．【解答】解：（1）∵D是BC的中点，CD＝2，∴BD＝DC＝2，BC＝4，在Rt△ACB中，由tanB＝，∴，∴AC＝3，由勾股定理得：AD＝＝＝，AB＝＝＝5；（2）过点D作DE⊥AB于E，∴∠C＝∠DEB＝90°，又∠B＝∠B，∴△DEB∽△ACB，∴，∴，∴，∴sin∠BAD＝＝＝．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．8．计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．【分析】原式前三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝2×﹣+﹣＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．≈1.414，≈1.732）．【分析】过P作PC⊥AB于点C，根据题意得到∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，根据正切的定义得到AC＝PC，根据题意列方程，解方程即可．【解答】解：过P作PC⊥AB于点C，∴∠ACP＝90°．由题意可知，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°．∴∠BPC＝45°．∴BC＝PC．在Rt△ACP中，．∵AB＝20，∴．∴≈27.3．答：河流宽度约为27.3米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．10．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°•tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．【解答】解：原式＝﹣+2××1＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．11．如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离（≈1.41，≈1.73，结果保留整数）．【分析】作PD⊥BC于点D，求出PB的长，在Rt△BPD中，利用三角函数求出PD的长；再在Rt△CPD中，求出PC的长．【解答】解：如图，作PD⊥BC于点D．根据题意，得∠BPD＝60°，∠CPD＝45°，PB＝AP﹣AB＝20海里，在Rt△BPD中，∴PD＝PB•cos60°＝10海里，在Rt△CPD中，∴PC＝＝10海里．∴PC＝14答：乙船的航行距离约是14海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．12．计算20140+（）﹣1﹣sin45°+tan60°．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，后两项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝1+2﹣×+＝2+．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．如图，道路边有一棵树，身高1.8米的某人站在水平地面的D点处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°，求树的高度AB．【分析】根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而得出BC以及AB的长即可．【解答】解：在Rt△CDB中，∵CD＝1.8m，∠CBD＝30°，∴CB＝3.6m，在Rt△ACB中，∵∠CAB＝30°，∴AB＝7.2m，答：树的高度AB为7.2m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．14．如图，在直角坐标系xOy中，梯形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，且AB∥OC，将梯形OABC沿OB对折，点A恰好落在BC边的点A1处，已知OA＝，AB＝1．求：（1）∠AOB的度数；（2）点A1的坐标．【分析】（1）由AB∥OC得到∠BAO＝90°，然后根据tan∠BOA＝＝，于是∠BOA＝30°；（2）过点A1作A1D⊥AO，垂足为D，根据折叠的性质得到∠BOA＝∠BOA1＝30°，A1O＝OA＝，则∠DOA1＝∠BOA+∠DOA1＝60°，所以∠OA1D＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得DO＝OA1＝，A1D＝OD＝，然后再根据第二象限点的坐标特点写出点A1的坐标．【解答】解：（1）∵AB∥OC，∴∠BAO＝90°，在Rt△ABO中，OA＝，AB＝1，∵tan∠BOA＝，∴∠BOA＝30°；（2）过点A1作A1D⊥AO，垂足为D，如图，∵将梯形OABC沿OB对折，点A恰好落在BC边的点A1处，∴∠BOA＝∠BOA1＝30°，A1O＝OA＝，∴∠DOA1＝∠BOA+∠DOA1＝60°，∴∠OA1D＝30°，∴DO＝OA1＝，A1D＝OD＝，∴A1点的坐标为（﹣，）【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了点的坐标、梯形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．15．计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°．【分析】分别把tan60°＝，sin45°＝，cos30°＝代入原式计算即可．【解答】解：原式＝+2×﹣2×（3分）＝+﹣＝．（5分）【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．16．如图，已知AC＝4，求AB和BC的长．【分析】作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，CD＝AC＝2，AD＝AC•cosA＝2．在Rt△CDB中，∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝45°，∴BD＝CD＝2，∴BC＝2，∴AB＝AD+BD＝2+2．【点评】本题考查了解直角三角形，作出辅助线是解题的关键，难度中等．17．小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪（图①），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD的高度（如图②）．她先在A处测得楼顶C的仰角α＝30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角β＝60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，）．【分析】先根据三角形的外角性质求出∠ECF＝β﹣α＝30°，得出CF＝EF＝10．然后在Rt△CFG中，利用余弦值进行解答．【解答】解：∵α＝30°，β＝60°，∴∠ECF＝β﹣α＝30°．∴CF＝EF＝10．在Rt△CFG中，CG＝CF•cosβ＝5，∴CD＝CG+GD＝5+1.6≈10.3，答：这座教学楼的高度约为10.3米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．18．计算：sin30°+cos45°•sin45°﹣tan60°【分析】分别把sin30°＝，cos45°＝，sin45°＝，tan60°＝代入代数式进行计算即可．【解答】解：原式＝+×﹣，（4分）＝1﹣．（5分）【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．19．如图，在奥林匹克公园的广场上空飘着一只气球P，A、B是地面上的两点，在A处看气球的仰角∠PAB＝45°，在拴气球的B处看气球的仰角∠PBA＝60°，已知绳长PB＝10m，求A、B两点之间的距离．（精确到0.1米，参考数据：，）【分析】45°角和60°角都是特殊的角，因此可作PC⊥AB．【解答】解：作PC⊥AB于点C，在直角三角形PCB中，∵∠PBC＝60°，PB＝10，∴BC＝5，PC＝5，在直角三角形PCA中，∵∠PAC＝45°，∴AC＝PC＝5，∴AB＝5+5＝5+5×1.73＝13.7（米）．故A，B两点之间的距离约13.7米．【点评】本题考查直角三角形的仰角俯角问题以及特殊直角三角中边的求法．20．如图，某船向正东方向航行，在A处望见小岛C在北偏东60°方向，前进8海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向．已知该岛5海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请通过计算说明理由．（参考数据：）【分析】作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与5海里比较大小即可．【解答】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．∴∴CD＝≈6.928＞5．∴船继续向东航行无触礁危险．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意