江苏省南京市20182019学年高一上学期期末调研数学

南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高一数学2019．01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第10题）、选择题（第11题~第14题）、解答题（第15题~第20题）三部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共10小题，每题5分，共50分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，3}，B＝{1，3}，则∁U(A∪B)＝▲．2．函数f(x)＝2x－4的定义域为▲．3．已知角α的终边经过点P(－5，12)，则sinαtanα的值为▲．4．已知向量a＝(4，－3)，b＝(x，6)，且a∥b，则实数x的值为▲．5．已知x＝log612－log63，则6x的值为▲．6．如图，在直角三角形ABC中，AB＝2，∠B＝60°，AD⊥BC，垂足为D，则AB→·AD→的值为▲．7．将函数f(x)＝2sin2x的图象向左平移π6个单位后，得到函数g(x)的图象，则g(0)的值为▲．8．已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝3－x，x≤2，logax，x＞2的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是▲．9．已知向量OA→与OB→满足|OA→|＝2，|OB→|＝1．又OM→＝tOA→，ON→＝(1－t)OB→，且|MN→|在t＝27时取到最小值，则向量OA→与OB→的夹角的值为▲．10．已知函数f(x)＝kx2－x，g(x)＝sinπx2．若使不等式f(x)＜g(x)成立的整数x恰有1个，则实数k的取值范围是▲．二、选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．11．已知a＝log1.40.7，b＝1.40.7，c＝0.71.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a12．函数f(x)＝xsinx，x∈[－π，π]的大致图象是（）xyOπ－πABCD（第6题图）A．B．C．D．13．在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若AC→·AD→＝11，则AC→·AB→的值是（）A．10B．14C．18D．2214．已知函数f(x)＝2cosx(x∈[0，π])的图象与函数g(x)＝3tanx的图象交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．π4B．3π4C．π2D．3π2三、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，向量c满足a·c＝b·c＝5．（1）求向量c的坐标；（2）求向量a与c的夹角θ．16．（本小题满分14分）已知α是第二象限角，且sinα＝255．（1）求tanα的值；（2）求sin(π＋α)＋cos(π－α)sin(π2－α)＋cos(π2＋α)的值．xπ－πyOxyOπ－πxyOπ－π17．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调增区间；（3）当x∈[－π2，0]时，求函数f(x)的值域．18．（本小题满分16分）某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P（万元）与精加工的蔬菜量x（吨）有如下关系：P＝120x2，0≤x≤8，3x＋810，8＜x≤14．设该农业合作社将x（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y（万元）．（1）写出y关于x的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．2π611π12yOx（第17题图）●19．(本小题满分16分)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝5，cos∠CAB＝35，D是边BC上一点，且BD→＝2DC→．（1）设AD→＝xAB→＋yAC→，求实数x，y的值；（2）若点P满足BP→与AD→共线，PA→⊥PC→，求|BP→||AD→|的值．20．（本小题满分16分）给定区间I，集合M是满足下列性质的函数f(x)的集合：任意x∈I，f(x＋1)＞2f(x)．（1）已知I＝R，f(x)＝3x，求证：f(x)∈M；（2）已知I＝(0，1]，g(x)＝a＋log2x．若g(x)∈M，求实数a的取值范围；（3）已知I＝[－1，1]，h(x)＝－x2＋ax＋a－5(a∈R)，讨论函数h(x)与集合M的关系．（第19题图）ABCDP南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高一数学参考答案2019．01一、填空题（10小题，每题5分，共50分）1．{2，4}2．[2，＋)3．－5134．－85．46．37．38．(1，2]9．π310．[12，2)二、选择题（4小题，每题5分，共20分）11．B12．A13．C14．D三、解答题（6小题，共90分）15．（本小题满分14分）解：（1）设c＝(x，y)．因为a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a·c＝b·c＝5，所以2x＋y＝5，x－2y＝5，……………………4分解得x＝3，y＝－1，所以c＝(3，－1)．……………………7分（2）因为a＝(2，1)，c＝(3，－1)，所以|a|＝5，|c|＝10．……………………9分又a·c＝2×3＋1×(－1)＝5，所以cosθ＝a·c|a||c|＝55×10＝22，……………………11分又θ∈[0，π]，所以θ＝π4．……………………14分注：（1）最后没有写成c＝(3，－1)不扣分．（2）不写θ范围或θ范围写错，扣1分．16．（本小题满分14分）解：（1）因为α是第二象限角，且sinα＝255，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－(255)2＝－55，……………………4分所以tanα＝sinαcosα＝255－55＝－2．……………………7分（2）sin(π＋α)＋cos(π－α)sin(π2－α)＋cos(π2＋α)＝－sinα－cosαcosα－sinα……………………11分＝－tanα－11－tanα＝tanα＋1tanα－1＝(－2)＋1(－2)－1＝13．……………………14分注：（1）计算要能体现公式．如未能体现公式，直接写出cosα＝－55，扣1分；如未能体现公式，直接写出tanα＝－2，扣1分；不写α角的范围，扣1分；（2）只看化简结果－sinα－cosαcosα－sinα或sinα＋cosαsinα－cosα，得4分；最后只看最终结果13，3分．17．（本小题满分14分）解：（1）由图象知，A＝2，T＝43×(11π12－π6)＝π，所以ω＝2πT＝2，从而f(x)＝2sin(2x＋φ)．……………………2分又因为f(x)的图象经过点(π6，2)，所以2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1，从而π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，即φ＝2kπ＋π6．又因为|φ|＜π，所以φ＝π6，故f(x)＝2sin(2x＋π6)．……………………5分（2）令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，所以函数f(x)的增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k∈Z．……………………9分（3）令t＝2x＋π6．因为x∈[－π2，0]，所以t∈[－5π6，π6]，从而sint∈[－1，12]，……………………12分即2sint∈[－2，1]．所以当x∈[－π2，0]时，函数f(x)的值域为[－2，1]．……………………14分注：（1）A，ω各1分；φ算对得3分；（2）结果没有写成区间的扣1分；18．（本小题满分16分）解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，y＝0.6x＋0.2(14―x)―120x2＝―120x2＋25x＋145，……………………3分当8＜x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14―x)―3x＋810＝110x＋2，……………………5分即y＝―120x2＋25x＋145，0≤x≤8，110x＋2，8＜x≤14．……………………7分（2）当0≤x≤8时，y＝―120x2＋25x＋145＝―120(x―4)2＋185，所以当x＝4时，ymax＝185．……………………10分当8＜x≤14时，y＝110x＋2，所以当x＝14时，ymax＝175．……………………12分因为185＞175，所以当x＝4时，ymax＝185．答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．…………………16分注：（1）若无过程直接得到分段函数，且正确，不扣分；（2）按标准．19．（本小题满分16分）解：（1）因为BD→＝2DC→，所以AD→―AB→＝2(AC→―AD→)，即AD→＝13AB→＋23AC→．又AD→＝xAB→＋yAC→，且AB→，AC→不共线，所以x＝13，y＝23．……………………4分（2）（方法一）因为BP→与AD→共线，所以存在实数λ，使得BP→＝λAD→．……………………6分因为AD→＝13AB→＋23AC→，所以BP→＝λ3AB→＋2λ3AC→，从而PA→＝PB→＋BA→＝―λ3AB→―2λ3AC→―AB→＝―(λ3＋1)AB→―2λ3AC→，PC→＝PA→＋AC→＝―(λ3＋1)AB→＋(1―2λ3)AC→，……………………8分所以PA→·PC→＝(λ3＋1)2AB→2＋(λ3＋1)(4λ3―1)AB→·AC→―2λ3(1―2λ3)AC→2．……………………10分因为AB＝2，AC＝5，cos∠CAB＝35，所以AB→2＝4，AC→2＝25，AB→·AC→＝2×5×35＝6，所以PA→·PC→＝(λ3＋1)2×4＋(λ3＋1)(4λ3―1)×6―2λ3(1―2λ3)×25＝1289λ2―8λ―2，……………………14分因为PA→⊥PC→，所以PA→·PC→＝0，即1289λ2―8λ―2＝0，解得λ＝34或λ＝―316．因此|BP→||AD→|＝|λ|＝34或316．……………………16分ABCDPxyO（方法二）如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy．因为AB＝2，AC＝5，cos∠CAB＝35，所以A(0，0)，B(2，0)，C(3，4)．又AD→＝13AB→＋23AC→，所以AD→＝13(2，0)＋23(3，4)＝(83，83)．……………………8分因为BP→与AD→共线，所以存在实数λ，使得BP→＝λAD→，即BP→＝(8λ3，8λ3)．……………………10分所以AP→＝AB→＋BP→＝(2，0)＋(8λ3，8λ3)＝(8λ＋63，8λ3)，CP→＝AP→―AC→＝(8λ＋63，8λ3)―(3，4)＝(8λ―33，8λ―123)．……………………12分因为PA→⊥PC→，即AP→⊥CP→，所以AP→·CP→＝0，所以8λ―33×8λ＋63＋8λ―123×8λ3＝0，即64λ2―36λ―9＝0．…………………14分解得λ＝34或λ＝―316，因此|BP→||AD→|＝|λ|＝34或316．……………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）证明：因为f(x)＝3x，所以f(x＋1)―2f(x)＝3x+1―2×3x＝3x＞0，即f(x＋1)＞2f(x)，所以f(x)∈M．……………………2分（2）因为g(x)＝a＋log2x，x∈(0，1]，且g(x)∈M，所以当x∈(0，1]时，g(x＋1)＞2g(x)恒成立，即a＋log2(x＋1)＞2a＋2log2x恒成立，所以a＜log2(x＋1)―2log2x＝log2(1x＋1x2)恒成立．……………………4分因为函数y＝log2(1x＋1x2)在区间(0，1]上单调递减，所以当x＝1时，ymin＝1．所以a＜1．……………………7分（3）h(x)＝－x2＋ax＋a－5，x∈(0，1]．若