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2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）设A＝{x||x|≤2018，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝．2．（3分）已知定义域在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）的值域为[﹣2，0]，则函数y＝f（cos）的值域是．3．（3分）若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．4．（3分）在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是．5．（3分）在等差数列{an}中，S7＝8，则a4＝．6．（3分）已知f（x+1）＝2x﹣2，那么f﹣1（2）的值是．7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．8．（3分）若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x﹣y|最小值是．9．（3分）设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为．10．（3分）已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）＝||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为．11．（3分）已知函数f（a，x）＝sinx+cosx随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为12．（3分）已知定义在R+上的函数f（x）＝，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围为．二、选择题13．（3分）设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集B．对任意a，P1不是P2的子集C．存在a，使得P1不是P2的子集D．存在a，使得P2是P1的子集14．（3分）△ABC中，a2：b2＝tanA：tanB，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形15．（3分）抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A．B．C．D．116．（3分）已知正数数列{an}满足an+1≥2an+1，且an＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．（0，3]D．（0，4）三、解答题17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．18．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y＝f（x）满足：①T＝{f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y＝f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）＝，f（x）＝tan（πx﹣）是否是集合A＝{x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）＝是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．19．如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2＝b2的切线，切点为P，求|AF1|﹣|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设＝，＝，求λ+μ的值．21．设正项数列{an}的前n项和为Sn，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，Sn﹣Sm＝qm•Sn﹣m恒成立．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明数列{}是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c﹣Sn）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）设A＝{x||x|≤2018，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝∅．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2018≤x≤2018}，B＝{2019}；∴A∩B＝∅．故答案为：∅．【点评】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．2．（3分）已知定义域在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）的值域为[﹣2，0]，则函数y＝f（cos）的值域是[﹣2，0]．【考点】34：函数的值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】可以看出﹣1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【解答】解：∵cos∈[﹣1，1]；∴；即y∈[﹣2，0]；∴该函数的值域为[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]．【点评】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos＝t，﹣1≤t≤1，从而得出f（t）∈[﹣2，0]．3．（3分）若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于4．【考点】ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5R：矩阵和变换．【分析】推导出|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），从而﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），由此能求出a的值．【解答】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），∴|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），∴﹣6＜ax﹣2＜6，即﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（3分）在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】解不等式sin3x＞cos3x，求出x∈（0，2π）不等式的解集即可．【解答】解：sin3x＞cos3x，∴sin3x﹣cos3x＞0，即（sinx﹣cosx）（sin2x+sinxcosx+cos2x）＞0，∴（sinx﹣cosx）（1+sin2x）；又1+sin2x＞0恒成立，∴sinx﹣cosx＞0，即sin（x﹣）＞0，∴x﹣∈（2kπ，2kπ+π），解得x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z；又（0，2π），∴使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．5．（3分）在等差数列{an}中，S7＝8，则a4＝．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】33：函数思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【解答】解：在等差数列{an}中，由S7＝，得．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．6．（3分）已知f（x+1）＝2x﹣2，那么f﹣1（2）的值是3．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】令t＝x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）＝2x﹣1﹣2＝2，求出相应的x，即为f﹣1（2）的值．【解答】解：令t＝x+1则x＝t﹣1所以f（t）＝2t﹣1﹣2所以f（x）＝2x﹣1﹣2令f（x）＝2x﹣1﹣2＝2，解得x＝3∴f﹣1（2）＝3故答案为：3．【点评】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【解答】解：甲、乙相邻的方法有＝12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有＝4种情况，所以所求的概率为P＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．（3分）若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x﹣y|最小值是2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x﹣y|的最小值．【解答】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x＝，y＝2tanθ，所以|x﹣y|＝|﹣2tanθ|＝＝，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）距离的2倍，可得：∈[2，2+2]，故答案为：22．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（3分）设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】39：运动思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【解答】解：如图，过P作PO⊥α，则PO＝，当∠PQO＝60°时，OQ＝1，当∠PQO＝30°时，OQ＝3．∴PQ所构成的区域体积为V＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10．（3分）已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）＝||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】设λ＝，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【解答】解：设λ＝，则f（λ）＝||＝|﹣|＝||，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出||的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|＝，∴|BC|＝，则|OC|＝＝＝，则|CP|＝|OP|+|OC|＝1+＝，即m的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．（3分）已知函数f（a，x）＝sinx+cosx随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图象与性质；59：不等式的解法及应用．【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【解答】解：函数f（a，x）＝sinx+cosx＝sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）＝1取得等号），由柯西不等式可得（+）2≤（1+1）（a+1﹣a）＝2，当且仅当a＝时，取得等号，即有+≤，即f（a，x）的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．12．（3分）已知定义在R+上的函数f（x）＝，设a，b