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2019年上海市交大附中高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）已知集合A＝{x|0＜x≤2}，集合B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝．2．（3分）若复数z＝4+3i，其中i是虚数单位，则|z2|＝．3．（3分）函数，则f[f（﹣1）]＝．4．（3分）已知sin（α﹣）＝，则cos（α﹣）＝．5．（3分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝．6．（3分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+y的取值范围为．7．（3分）已知函数f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R，ab≠0），若其图象关于直线对称，则直线ax+by+2＝0的倾斜角α＝．8．（3分）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为．（容器壁的厚度忽略不计）9．（3分）已知，且a0+a1+a2+…+an＝126，那么展开式中的常数项为．10．（3分）已知正实数x，y满足xy+2x+3y＝42，则xy+5x+4y的最小值为．11．（3分）已知等边△ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式＝λ的点P有两个，则实数λ的取值范围是．12．（3分）过直线l：x+y＝2上任意点P向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为．二、选择题13．（3分）已知定义域为R的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有（）A．7对B．8对C．9对D．以上都不对14．（3分）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（）A．8桶B．9桶C．10桶D．11桶15．（3分）已知f（x）＝x2+3x，若|x﹣a|≤1，则下列不等式一定成立的是（）A．|f（x）﹣f（a）|≤3|a|+3B．|f（x）﹣f（a）|≤2|a|+4C．|f（x）﹣f（a）|≤|a|+5D．|f（x）﹣f（a）|≤2（|a|+1）216．（3分）若，且，，则的取值范围是（）A．B．[0，2]C．D．三、解答题17．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知cos2A﹣3cos（B+C）＝1．（1）求角A的值；（2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围．18．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．19．一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP＝θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．20．过抛物线C：y2＝2px（其中p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B两点的纵坐标之积为﹣16．（1）求抛物线C的方程；（2）当|AF|≠|BF|时，求的值；（3）对于x轴上给定的点D（n，0）（其中n＞2），若过点D和B两点的直线交抛物线C的准线P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．21．已知数列{an}为等比数列，a1＝1，公比为q，Sn为数列{an}的前n项和．（1）若a3+a5＝20，求；（2）若调换a5、a6、a7的顺序后能构成一个等差数列，求q的所有可能值；（3）是否存在正常数c、q，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由．2019年上海市交大附中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知集合A＝{x|0＜x≤2}，集合B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}．【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，集合B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}．故答案为：{x|﹣1＜x≤2}．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．（3分）若复数z＝4+3i，其中i是虚数单位，则|z2|＝25．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．【解答】解：由z＝4+3i，得z2＝（4+3i）2＝16+24i+9i2＝7+24i，则|z2|＝|7+24i|＝．故答案为：25．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（3分）函数，则f[f（﹣1）]＝0．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数的解析式求出f（﹣1）的值，再求出f[f（﹣1）]＝f（1）＝f（4）＝0．【解答】解：f（﹣1）＝f（2）＝f（5）＝5﹣4＝1所以f[f（﹣1）]＝f（1）＝f（4）＝0故答案为0【点评】求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值．4．（3分）已知sin（α﹣）＝，则cos（α﹣）＝±．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据sin（α﹣）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣）的值即可．【解答】解：∵sin（α﹣）＝，∴cos（α﹣）＝±＝±．故答案为：±【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．（3分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝2n+1（n∈N*）．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由数列的前n项和公式Sn＝n2+2n，表示出当n大于等于2时，前n﹣1项和Sn﹣1，利用an＝Sn﹣Sn﹣1得出n大于等于2时的通项公式，把n＝1代入此通项公式检验也满足，故得到数列的通项公式．【解答】解：当n≥2，且n∈N*时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]＝n2+2n﹣（n2﹣2n+1+2n﹣2）＝2n+1，又S1＝a1＝12+2＝3，满足此通项公式，则数列{an}的通项公式an＝2n+1（n∈N*）．故答案为：2n+1（n∈N*）【点评】此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式an＝Sn﹣Sn﹣1是解本题的关键，同时注意要把首项代入通项公式进行验证．6．（3分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+y的取值范围为[1，6]．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，0），联立，解得B（0，1）．化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为6．∴目标函数z＝3x+y的取值范围为[1，6]．故答案为：[1，6]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（3分）已知函数f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R，ab≠0），若其图象关于直线对称，则直线ax+by+2＝0的倾斜角α＝．【考点】I2：直线的倾斜角；IG：直线的一般式方程与直线的性质．【专题】33：函数思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】化简函数y＝asin2x+bcos2x为一个角的一个角的函数形式，利用x＝是函数y＝asin2x+bcos2x图象的一条对称轴，求出a，b的值，然后求直线l的斜率与倾斜角．【解答】解：∵函数y＝asin2x+bcos2x（a，b不全为0）的图象关于直线x＝对称，设sinθ＝，cosθ＝，∴y＝asin2x+bcos2x＝（sin2x+cos2x）＝sin（2x+θ），当x＝时，2x+θ＝+θ＝+kπ，（k∈Z），∴θ＝﹣++kπ＝+kπ，（k∈Z），不妨取k＝0时，得θ＝；∴sinθ＝＝，cosθ＝＝，解得a＝，b＝1；∴直线l：ax+by+c＝0可化为：x+y+c＝0，它的斜率为k＝﹣，∴倾斜角是；故答案为：．【点评】本题考查了三角函数与向量知识的综合应用问题，是综合题目．8．（3分）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为41π．（容器壁的厚度忽略不计）【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意，该球形容器的半径的最小值为＝，即可求出该球形容器的表面积的最小值．【解答】解：由题意，该球形容器的半径的最小值为＝，∴该球形容器的表面积的最小值为＝41π．故答案为41π【点评】本题考查正棱柱的外接球，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（3分）已知，且a0+a1+a2+…+an＝126，那么展开式中的常数项为20．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由题意令x＝1，可得n＝4，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【解答】解：∵已知，且a0+a1+a2+…+an＝126，∴令x＝1，可得a0+a1+a2+…+an＝2+22+…+2n＝＝2n+1﹣2＝126，∴n＝6，那么＝的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•x3﹣r，令3﹣r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项为＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，二项展开式的通项公式，属于基础题．10．（3分）已知正实数x，y满足xy+2x+3y＝42，则xy+5x+4y的最小值为55．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】34：方程思想；35：转化思想；59：不等式的解法及应用．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y＝42，可得y＝＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y＝3x+y+42＝3x++42＝3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y＝42，∴y＝＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y＝3x+y+42＝3x++42＝3+31≥3×+31＝55，当且仅当x＝1，y＝10时取等号．∴xy+5x+4y的最小