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2019年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则A∪B＝2．（4分）已知＝3，则x＝．3．（4分）在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）已知向量＝（m，3），＝（2，﹣1），若向量，则实数m为．5．（4分）已知函数f（x）＝xa的图象过点（2，），则f（x）的定义域为．6．（4分）若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为．7．（5分）已知α∈（），且tanα＝﹣2，则sin（π﹣α）＝．8．（5分）已知函数f（x）＝logax和g（x）＝k（x﹣2）的图象如图所示，则不等式≥0的解集是．9．（5分）如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD＝m（精确到1m）10．（5分）若甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+an+1＝，若数列{Sn}收敛于常数A，则首项a1的取值的集合为．12．（5分）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有个元素．二、选择题（本大题共有4题，满分20分,每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知x∈R，则“x≥0”是“x＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，如表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数1234567种子数82622241242统计每颗种子种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（）A．2B．3C．3.5D．415．（5分）已知向量和的夹角为，||＝2，||＝3，则（2﹣）（+2）＝（）A．﹣10B．﹣7C．﹣4D．﹣116．（5分）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y＝f（x）的定义域为D，x1，x2∈D．①若当f（x1）+f（x2）＝0时，都有x1+x2＝0，则函数y＝f（x）是D上的奇函数．②若当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2，则函数y＝f（x）是D上的奇函数．下列判断正确的是（）A．①和②都是真命题B．①是真命题，②是假命题C．①和②都是假命题D．①是假命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）求下列不等式的解集：（1）|2x﹣3|＜5；（2）4x﹣4×2x﹣12＞0．18．（14分）《九章算术》中，将地面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD．（1）已知AD＝CD＝4m，斜梁PB与底面ABCD所成角为15°，求立柱PD的长（精确导0.01m）．（2）求证：四面体PDBC为鳖臑．19．（14分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，复数z1＝a+bi，z2＝cosA+icosB（其中i是虚数单位），且z1•z2＝3i．（1）求证：acosB+bcosA＝c，并求边长c的值；（2）判断△ABC的形状，并求当b＝时，角A的大小．20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x2+mx+1，g（x）＝2sin（ωx+）．（1）若函数y＝f（x）+2x为偶函数，求实数m的值；（2）若ω＞0，g（x）≤g（），且g（x）在[0，]上是单调函数，求实数ω的值；（3）若ω＝1，且当x1∈[1，2]时，总有x2∈[0，π]，使得g（x2）＝f（x1），求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝a．（1）若数列{an}是等差数列，且a8＝15，求实数a的值；（2）若数列{an}满足an+2﹣an＝2（n∈N*），且S19＝19a10，求证：数列{an}是等差数列；（3）设数列{an}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{an}具有如下性质M：对于任意的n≥2（n∈N*），都存在m∈N*使得（Sm﹣an）（Sm﹣an+1）＜0，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合．2019年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则A∪B＝{1，2，3，4，5}【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】进行并集的运算即可．【解答】解：A∪B＝{1，2，3，4，5}．故答案为：{1，2，3，4，5}．【点评】考查列举法的定义，以及并集的定义及运算．2．（4分）已知＝3，则x＝1．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开式直接求解．【解答】解：∵＝3，∴2x+1＝3，解得x＝1．故答案为：1．【点评】本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为15（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为2，求出展开式中x2的系数．【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝C6rxr．令r＝2得到展开式中x2的系数是C62＝15．故答案为：15．【点评】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．4．（4分）已知向量＝（m，3），＝（2，﹣1），若向量，则实数m为﹣6．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据即可得出﹣m﹣6＝0，解出m即可．【解答】解：∵；∴﹣m﹣6＝0；∴m＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系．5．（4分）已知函数f（x）＝xa的图象过点（2，），则f（x）的定义域为（0，+∞）．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数的定义域即可．【解答】解：设幂函数为y＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），∴＝2α，解得α＝﹣，故f（x）＝，故函数的定义域是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查．6．（4分）若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为12π．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为9π，则其底面半径是3，底面周长为6π，圆锥的侧面积为15π，又×6πl＝15π，∴圆锥的母线为5，则圆锥的高＝4，所以圆锥的体积×4×9π＝12π．故答案为：12π．【点评】本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．7．（5分）已知α∈（），且tanα＝﹣2，则sin（π﹣α）＝．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】由题意可得sinα＞0，再结合tana＝＝﹣2，sin2a+cos2a＝1，求得sina的值【解答】解：α∈（），且tanα＝﹣2，∴sinα＝﹣2cosα，∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α＝1，∴sinα＝，∴sin（π﹣α）＝sinα＝，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝logax和g（x）＝k（x﹣2）的图象如图所示，则不等式≥0的解集是[1，2）．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）＝logax和g（x）＝k（x﹣2）图象可得f（x）和g（x）的正负，即可求解不等式≥0的解集．【解答】解：由图象f（x）＝logax可得x∈（0，1）时，f（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，当x＝1时f（x）＝0由图象g（x）＝k（x﹣2）可得x∈（﹣∞，2）时，g（x）＞0，x∈（2，+∞）时，g（x）＜0，不等式≥0，即或；∴x∈[1，2）∴不等式≥0的解集为[1，2）故答案为：[1，2）【点评】本题考查了函数图象求解x范围解决不等式的问题，是基础题．9．（5分）如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD＝212m（精确到1m）【考点】HU：解三角形．【专题】31：数形结合；4O：定义法；58：解三角形．【分析】根据题意，利用正弦定理求得BD的长，再由直角三角形的边角关系求出CD的值．【解答】解：△ABD中，AB＝600，∠DAB＝30°，∠DBA＝105°，∴∠ADB＝45°，由正弦定理得＝，解得BD＝＝300；在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，∴CD＝BD＝150≈212，即楼高CD约212米．故答案为：212．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．10．（5分）若甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，基本事件总数n＝＝400，两人选修的课程中恰有1门相同包含的基本事件个数m＝＝180，由此能求出两人选修的课程中恰有1门相同的概率．【解答】解：甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，基本事件总数n＝＝400，两人选修的课程中恰有1门相同包含的基本事件个数m＝＝180，∴两人选修的课程中恰有1门相同的概率p＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+an+1＝，若数列{Sn}收敛于常数A，则首项a1的取值的集合为{}．【考点】8H：数列递推式．【专题】32：分类讨论；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】对n分类讨论，利用等比数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：n＝2k（k∈N*）为偶数时，a1+a2＝，a3+a4＝，……，a2k﹣1+a2k＝，Sn＝＝→．（k→+∞）．n＝2k﹣1（k∈N*）为奇数时，a2+a3＝，a4+a5＝，……，a2k﹣2+a2k﹣1＝，Sn＝a1+＝a1+→a1+．∵数列{Sn}收敛于常数A，∴a1+＝．解得a1＝．故答案