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2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，且Sn=a，则a=．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgbC．sina＞sinbD．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1B．|ab|≥1C．|a+b|≥1D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016年为第1年，f（n）为第1年至此后第n（n∈N*）年的累计利润（注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当f（n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求f（n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1（a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且kOA•kOB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】不等式＜0，即x（x+1）＜0，由此求得它的解集．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．【点评】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的图象与性质，即可求出ω的值．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a=．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用反函数的性质求出结果．【解答】解：若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：反函数的性质的应用．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；5Q：立体几何．【分析】设正方形的边长为acm，根据圆柱体的体积求出a的值，再求该圆柱体的侧面积．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．【点评】本题考查了圆柱体的体积与侧面积的求法问题，是基础题．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】x＞0时，f（x）=﹣2﹣x﹣ax，再由f（2）=2，得f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，由此能求出a的值．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．（5分）若无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，且Sn=a，则a=2．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】3A：极限思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】运用无穷递缩等比数列的求和公式，可得=a，解方程可得a的值，由0＜|q|＜1，即可得到所求值．【解答】解：无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，且Sn=a，可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．【点评】本题考查无穷等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，按参加服务队女生的人数分2种情况讨论，每种情况中先计算4人的选取方法，再计算队长和副队的分配情况数目，由分步计数原理计算可得每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有1名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意按参加服务队女生的人数分情况讨论．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2求出点A的坐标，再写出、，利用•=6求出a与α的关系，计算模长||．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b