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2016年上海市宝山区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程4x﹣2x﹣6=0的解为．2．（4分）已知：（i是虚数单位），则z=．3．（4分）以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是．4．（4分）数列所有项的和为．5．（4分）已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y=．6．（4分）等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．7．（4分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=．8．（4分）抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．9．（4分）已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为．10．（4分）两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是．11．（4分）向量，满足，，与的夹角为60°，则=．12．（4分）数列，则是该数列的第项．13．（4分）已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是．14．（4分）如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记An（0，yn），n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{yn}是递减数列；②对∀n∈N*，yn＞0；③若y1=4，y2=3，则．其中，所有正确结论的序号是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）如图，该程序运行后输出的结果为（）A．1B．2C．4D．1616．（5分）P是△ABC所在平面内一点，若=λ+，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上17．（5分）若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直18．（5分）王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．）网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算．（）A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（14分）已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．21．（14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=…b1=2b2=b3=b4=…（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22．（16分）已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．23．（18分）已知函数f（x）=logkx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若bn=an+f（an），当时，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值；（3）若cn=anlgan，问是否存在实数k，使得{cn}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．2016年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程4x﹣2x﹣6=0的解为x=log23．【考点】3V：二次函数的性质与图象；4G：指数式与对数式的互化．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，解得2x=3，或2x=﹣2（舍去），∴x=log23．故答案为：x=log23．【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．2．（4分）已知：（i是虚数单位），则z=﹣3﹣4i．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再求其共轭复数得答案．【解答】解：由，得：，∴z=﹣3﹣4i．故答案为：﹣3﹣4i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础的计算题．3．（4分）以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先求圆心到直线4x+3y﹣35=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程．【解答】解：以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切，圆心到直线的距离等于半径，即：所求圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切，是基础题．4．（4分）数列所有项的和为2．【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】先求出数列前n项和，再求出前n项和的极限，从而求出结果．【解答】解：数列前n项和：Sn==2[1﹣（）n]，∴数列所有项的和为：S===2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．（4分）已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y=8．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】利用矩阵乘法法则求解．【解答】解：∵矩阵A=，B=，AB=，∴AB===，∴，解得x=5，y=3，∴x+y=8．故答案为：8．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵乘法法则的合理运用．6．（4分）等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，故该几何体的体积V=2×[×]•=．故答案为：【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，难度不大，属于基础题．7．（4分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=1．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）rC9rx9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．8．（4分）抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【考点】K8：抛物线的性质；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】写出抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决本题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．【解答】解：抛物线y2=12x的准线为x=﹣3，双曲线的两条渐近线方程分别为：y=x，y=﹣x，这三条直线构成边长为2的等边三角形，因此，所求三角形面积等于×2×2×sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．9．（4分）已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象；O1：二阶矩阵．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得ω，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出t的取值集合得答案．【解答】解：==．∵f（x）的最小正周期为2π，∴，得ω=1．将f（x）的图象向左平移t个单位，得f（x+t）=．∵函数f（x+t）为偶函数，∴，则t=．取k=0时，t的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是中档题．10．（4分）两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是48．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一个小孩、奥迪车上有2个小孩这三种情况，分别求得乘车的方法数，相加即得所求．【解答】解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．若奥迪车上没有小孩，则有=10种方法；若奥迪车上有一个小孩，则有=28种；若奥迪车上有两个小孩，则有=10种．综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，故答案为48．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．（4分）向量，满足，，与的夹角为60°，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】34：方程思