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2016年上海市崇明区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）函数的最小正周期是．2．（4分）若集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|＜0}，则A∩B=．3．（4分）已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=．4．（4分）已知cosα=，且α∈（，2π），则cos（α+）=．5．（4分）若loga2b=﹣1，则a+b的最小值为．6．（4分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．7．（4分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为cm3．8．（4分）已知f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=2x+x，则f（1）+g（1）=．9．（4分）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在理科学科：物理、化学、生物，文科学科：政治、历史、地理这6门学科中选择3门学科参加等级考试．小王同学对理科学科比较感兴趣，决定至少选择两门理科学科，那么小王同学的选科方案有种．10．（4分）有一列球体，半径组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则（V1+V2+…Vn）=．11．（4分）在△ABC中，AB=4，BC=6，∠CBA=，．若双曲线Γ以AB为实轴，且过点C，则Γ的焦距为．12．（4分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足||=||，则•的取值范围是．13．（4分）已知数列{an}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有，当a1=11时，a100=；若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为．14．（4分）设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“a＜2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位17．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油18．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．9三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（文）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC与AD所成角；（2）求点B到平面SCD的距离．20．（14分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？21．（14分）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．22．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a=1，b=1时，若f（2x）=，求x的值；（3）若﹣1≤b＜0，且对任意x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．23．（18分）设m个正数a1，a2，…，am（m≥4，m∈N*）依次围成一个圆圈．其中a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为q的等比数列．（1）若a1=d=1，q=2，k=8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm；（2）若a1=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；（3）当q=2时是否存在正整数k，满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．2016年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）函数的最小正周期是π．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性；O1：二阶矩阵．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为：π【点评】本题主要考查了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力，属于基础题．2．（4分）若集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|＜0}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣1＜2，即﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3），由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜2，即B=（﹣4，2），则A∩B=（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=1．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由题意化简z=a+1+（a﹣1）i，由题意可得，其虚部（a﹣1）=0，故可得答案．【解答】解：由题意化简z=a+1+（a﹣1）i，因为复数z在复平面内对应的点在实轴上，所以复数z为实数，即其虚部a﹣1=0，解得a=1故答案为：1【点评】本题为复数的基本定义的考查，涉及复数的运算和复平面，属基础题．4．（4分）已知cosα=，且α∈（，2π），则cos（α+）=．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cos（α+）的值．【解答】解：∵cosα=，且α∈（，2π），则cos（α+）=﹣sinα===，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．5．（4分）若loga2b=﹣1，则a+b的最小值为．【考点】4H：对数的运算性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】求出ab关系式，利用基本不等式求解即可．【解答】解：由题意loga2b=﹣1，可得：2ab=1，a+b≥2=，当且仅当a=b=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的应用，导数的运算法则的应用．6．（4分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为Tr+1=•x10﹣r•ar，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．7．（4分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为12πcm3．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．【解答】解：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，所以圆锥的底面周长：6π底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：故答案为：12π【点评】本题考查圆锥的侧面积、体积，考查计算能力，是基础题．8．（4分）已知f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=2x+x，则f（1）+g（1）=．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=2x+x，∴f（﹣1）﹣g（﹣1）=2﹣1﹣1==，即f（1）+g（1）=，故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质直接令x=﹣1是解决本题的关键．9．（4分）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在理科学科：物理、化学、生物，文科学科：政治、历史、地理这6门学科中选择3门学科参加等级考试．小王同学对理科学科比较感兴趣，决定至少选择两门理科学科，那么小王同学的选科方案有10种．【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有C32C31=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．故答案为：10．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）有一列球体，半径组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则（V1+V2+…Vn）=π．【考点】6F：极限及其运算；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】由题意，V1，V2，…，Vn，…，组成以为首项，为公比的等比数列，利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，V1，V2，…，Vn，…，组成以为首项，为公比的等比数列，∴（V1+V2+…Vn）==π．故答案为：π．