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2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知矩阵，，则A+B=．2．（4分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁UA=．3．（4分）已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=．4．（4分）某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布平方米．5．（4分）无穷等比数列{an}（n∈N*）的首项a1=1，公比q=，则前n项和Sn的极限Sn=．6．（4分）已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=．7．（4分）执行如图所示的流程图，则输出的S的值为．8．（4分）（1﹣）8展开式中x的系数为．9．（4分）学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人在同一个食堂就餐的概率是．10．（4分）若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为．11．（4分）如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．12．（4分）已知f（x）=，当x∈[﹣2，2]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最小值是．13．（4分）抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB=8，则抛物线C的方程为．14．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜16．（5分）设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）对于平面α和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m，n与α所成的角相等，则m∥nD．若m⊊α，m∥n，且n在平面α外，则n∥α18．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③④．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD．（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．（14分）某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量an，及松树数量bn关于n的表达式．（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．21．（14分）如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．22．（16分）如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．23．（18分）已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由；（2）证明：g（x）=（）x是T倍周期函数，且T的值是唯一的；（3）若f（n）（n∈N*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=﹣4，Sn表示f（n）的前n项和，Cn=，求Cn．2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知矩阵，，则A+B=．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；5R：矩阵和变换．【分析】直接利用矩阵的和分运算法则求解即可．【解答】解：矩阵，，∴=．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的和的求法，是基础题．2．（4分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁UA={x|x＜﹣1或x≥2}．【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据补集的定义求得∁UA．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜2}，则集合∁UA={x|x＜﹣1或x≥2}，故答案为：{x|x＜﹣1或x≥2}．【点评】本题主要考查补集的定义和求法，属于基础题．3．（4分）已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=1．【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．4．（4分）某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布16π平方米．【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】求出球的半径，可得球的表面积，即可得出结论．【解答】解：∵球的直径为4米，∴半径为2米，∴球的表面积为4π•22=16π平方米．故答案为：16π平方米．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．5．（4分）无穷等比数列{an}（n∈N*）的首项a1=1，公比q=，则前n项和Sn的极限Sn=．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】直接利用无穷等比数列的极限求解即可．【解答】解：无穷等比数列{an}（n∈N*）的首项a1=1，公比q=，则前n项和Sn的极限Sn===．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，是基础题．6．（4分）已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=．【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】设出复数，写出复数对应的共轭复数的式子，把设出的结果代入等式中，合并同类项，写成复数的标准形式，利用复数的相等的充要条件，写出a和b的值，得到结果．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，∵虚数z满足2z﹣=1+6i，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）=1+6i，∴a+3bi=1+6i，∴a=1，3b=6，∴a=1，b=2，∴|z|=，故答案为：【点评】本题需要先对所给的复数式子整理，展开运算，得到a+bi的形式，主要依据复数相等的条件，本题可以作为一个选择或填空出现在高考卷的前几个题目中．7．（4分）执行如图所示的流程图，则输出的S的值为．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；27：图表型；48：分析法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出S=+++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出S=+++…+的值．由于S=+++…+=1+…+﹣=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求解是解题的关键，属于基础题．8．（4分）（1﹣）8展开式中x的系数为﹣56．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．【解答】解：由于（1﹣）8展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，令=1，可得r=3，故展开式中x的系数为﹣56，故答案为：﹣56．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．9．（4分）学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人在同一个食堂就餐的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=23=8，由此利用等可能事件概率计算公式能求出三个人在同一个食堂就餐的概率．【解答】解：学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，基本事件总数n=23=8，三个人在同一个食堂就餐包含的基本事件个数m=2，∴三个人在同一个食堂就餐的概率p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．（4分）若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为36．【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案．【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，故答案为：36【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差，熟练掌握方差与标准差之间的关系，及数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，是解答的关键．11．（4分）如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）．∵AB=3AE，BC=3CF，∴E，F．∵=+，∴（a，b）=+，∴，解得λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算及共面向量定理，属于基础题．12．（4分）已知f（x）=，当x∈[﹣2，2]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，