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2016年上海市虹口区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）函数f（x）=2x+1的反函数f﹣1（x）=．2．（4分）设全集U=R，若集合A={x||x﹣1|＞1}，则∁UA=．3．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=．4．（4分）在二项式的展开式中，常数项的值为．（结果用数字表示）5．（4分）行列式的最大值为．6．（4分）在等差数列{an}中，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则数列{an}的前10项的和等于．7．（4分）如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B；若双曲线C的焦距为4，△OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心），则双曲线C的方程为．8．（4分）已知数据x1，x2，…，x8的方差为16，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的标准差为．9．（4分）已知抛物线x2=8y的弦AB的中点的纵坐标为4，则|AB|的最大值为．10．（4分）如图所示，半径R=2的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于．11．（4分）锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同．从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为．（结果用最简分数表示）12．（4分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a2a3=64，且，则an=．13．（4分）在由正整数构成的无穷数列{an}中，对任意的n∈N*，都有an≤an+1，且对任意的k∈N*，数列{an}中恰有k个k，则a2016=．14．（4分）若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知直线是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为（）A．B．C．D．17．（5分）已知均为单位向量，且．若，则的取值范围是（）A．B．[3，5]C．[3，4]D．18．（5分）设函数若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知它的底面边长为10，高为20．（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积与体积；（2）若P、Q分别是BC、CC1的中点，求异面直线PQ与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．20．（14分）已知△ABC的面积为S，且．（1）求sinA，cosA，tan2A的值；（2）若，求△ABC的面积S．21．（14分）对于函数，定义．已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0；当x＞0，且x≠1时，g（x）=f2015（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），并求出函数y=g（x）的解析式；（2）若存在实数a，b（a＜b）使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．22．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S2=0，2Sn+n=nan（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3，a4，并求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1+3b2+5b3+…+（2n﹣1）bn=2n•an+3，求证：数列{bn}是等比数列；（3）由数列{an}的项组成一个新数列{cn}：c1=a1，c2=a2+a3，c3=a4+a5+a6+a7，…，cn=+++…+，…．设Tn为数列{cn}的前n项和，试求的值．23．（18分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若•=﹣，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1，l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P，Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R，求△PQR面积最大值时，直线l2的方程．2016年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）函数f（x）=2x+1的反函数f﹣1（x）=log2x﹣1（x＞0）．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】由原函数解析式求解x，然后把x，y互换得答案．【解答】解：由y=f（x）=2x+1，得x+1=log2y，∴x=log2y﹣1（y＞0），x，y互换可得：f﹣1（x）=log2x﹣1（x＞0）．故答案为：log2x﹣1（x＞0）．【点评】本题考查函数的反函数的求法，关键是注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={x||x﹣1|＞1}，则∁UA=[0，2]．【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出集合A，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：|x﹣1|＞1，∴x﹣1＞1或x﹣1＜﹣1，∴x＞2或x＜0，∴A=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴∁UA=[0，2]，故答案为：=[0，2]．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=2．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用虚数单位i的运算性质化简，再由复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：∵=﹣i+1，∴z=（1﹣i）（1+i）=12﹣i2=2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．4．（4分）在二项式的展开式中，常数项的值为28．（结果用数字表示）【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】根据二项式的展开式通项公式，求出常数项的值即可．【解答】解：二项式的展开式中，通项公式为：Tr+1=••=（﹣1）r••，令=0，解得r=2；∴常数项的值为（﹣1）2•=28．故答案为：28．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．5．（4分）行列式的最大值为13．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；O1：二阶矩阵．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开式法则和三角函数性质及诱导公式求解．【解答】解：=12cos（）cot（π﹣x）﹣5cosxtanx=12（﹣sinx）（﹣cotx）﹣5sinx=12cosx﹣5sinx=13sin（x+θ）≤13，∴行列式的最大值为13．故答案为：13．【点评】本题考查二阶行列式的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式法则和三角函数性质及诱导公式的合理运用．6．（4分）在等差数列{an}中，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则数列{an}的前10项的和等于80．【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可求出数列的首项和公差，代入求和公式计算可得．【解答】解：∵在等差数列{an}中a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，∴a1+a3+a5=3a3=9，a2+a4+a6=3a4=15，∴a3=3，a4=5，公差d=5﹣3=2，a1=3﹣2×2=﹣1，∴前10项的和S10=10×（﹣1）+×2=80，故答案为：80．【点评】本题考查等差数列的求和公式，求出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．7．（4分）如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B；若双曲线C的焦距为4，△OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心），则双曲线C的方程为．【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知设双曲线方程为，由题意得a=OA===1，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B，双曲线C的焦距为4，∴由已知设双曲线方程为，∵△OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心），∴a=OA===1，∴双曲线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．8．（4分）已知数据x1，x2，…，x8的方差为16，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的标准差为8．【考点】BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】由方差的性质先求出数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的方差，再求出数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的标准差．【解答】解：∵数据x1，x2，…，x8的方差为16，∴由方差的性质得：数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的方差为：S2=22×16=64，∴数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的标准差为：S==8．故答案为：8．【点评】本题考查数据的标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．9．（4分）已知抛物线x2=8y的弦AB的中点的纵坐标为4，则|AB|的最大值为12．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B中点的纵坐标为4，知y1+y2=8，由|AB|=y1+y2+p，能求出弦AB的长度．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A、B中点的纵坐标为4，∴y1+y2=8，当弦AB过焦点时，|AB|取最大值，此时|AB|=y1+y2+p=8+4=12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．10．（4分）如图所示，半径R=2的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值．【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=2cosα，圆柱的高为4sinα，圆柱的侧面积为：8πsin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：8π，球的表面积为：4πR2=16π，所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：8π．故答案为：8π【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧