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2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．（4分）已知，则复数z的虚部为．3．（4分）设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．（4分）已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．（4分）数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，则=．6．（4分）已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．（5分）若正项等比数列{an}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．（5分）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．（5分）设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．（5分）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．（5分）在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行14．（5分）已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．15．（5分）如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值16．（5分）定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④三、解答题（本大题满分76分）17．（12分）在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．（14分）如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．（16分）椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．（18分）已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{an}的首项a1=a．（1）如果an=f（n）（n∈N*），写出数列{an}的通项公式；（2）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{an}是等差数列，求首项a的取值范围；（3）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{an}的前n项和Sn．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．（4分）已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8}．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，16}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．（4分）已知，则复数z的虚部为1．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（4分）设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．（4分）已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】OQ：系数矩阵的逆矩阵解方程组．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为【点评】本题的考点是系数矩阵的逆矩阵解方程组，关键是利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，从而得解．5．（4分）数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，则=．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn==n2．an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；【点评】本题考查等差数列求和，数列的极限的求法，考查计算能力．6．（4分）已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题三角函数值为载体，考查了充分必要条件的判断，属于基础题．训练掌握三角形内角的正、余弦函数符号与特殊角的三角函数值，是解决此类问题的关键．7．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：6【点评】本题主要考查双曲线截距的求解，根据焦点到其渐近线的距离建立方程关系求出b的值是解决本题的关键．8．（5分）若正项等比数列{an}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】利用数列{an}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{an}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．【点评】本题考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．【点评】本题考查椭圆焦距的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．10．（5分）设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，∴Tr+1=C6r2rxr，当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：60【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，分段函数的应用，属于中档题．11．（5分）点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准