2016年上海市静安区高考数学一模试卷(理科)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(4分)已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣,则实数a的值为.2.(4分)在等差数列{an}(n∈N*)中,已知公差d=2,a2007=2007,则a2016=.3.(4分)设x=cosα,且,则arcsinx的取值范围是.4.(4分)已知球的半径为24cm,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是cm3.5.(4分)方程的解为.6.(4分)直线x﹣y﹣2=0关于直线x﹣2y+2=0对称的直线方程是.7.(4分)已知复数z满足z+|z|=2+8i,其中i为虚数单位,则|z|=.8.(4分)(x+y+z)8的展开式中项x3yz4的系数等于.(用数值作答)9.(4分)在产品检验时,常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查,恰好有2件是不合格品的抽法有种.(用数值作答)10.(4分)经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点,且面积最小的圆的方程是.11.(4分)在平面直角坐标系xOy中,坐标原点O(0,0)、点P(1,2),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的横坐标是.12.(4分)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,若△ABC的面积S=a2﹣b2﹣c2+2bc,则sinA=.(用数值作答)13.(4分)已知各项皆为正数的等比数列{an}(n∈N*),满足a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得=4a1,则+的最小值为.14.(4分)在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.15.(5分)组合数恒等于()A.B.C.D.16.(5分)函数的反函数是()A.B.C.D.17.(5分)已知数列{an}的通项公式为,则=()A.﹣2B.0C.2D.不存在18.(5分)下列四个命题中,真命题是()A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线C.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线D.若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则a、c是异面直线三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(12分)如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为AB的中点.求:(1)异面直线BD1与CE所成角的余弦值;(2)点A到平面A1EC的距离.20.(14分)李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的10%,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)(2)如果银行贷款的年利率为5%,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?21.(14分)设P1和P2是双曲线上的两点,线段P1P2的中点为M,直线P1P2不经过坐标原点O.(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2,求证:k1k2=;(2)若双曲线的焦点分别为、,点P1的坐标为(2,1),直线OM的斜率为,求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积.22.(16分)在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点Pn在x轴上,其横坐标为xn,且{xn}是首项为1、公比为2的等比数列,记∠PnAPn+1=θn,n∈N*.(1)若,求点A的坐标;(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.23.(18分)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x+1.(1)求f(x)与g(x)的解析式;(2)若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数φ(x),当﹣1≤x≤1时,φ(x)=f(x),试求φ(x)在闭区间[2015,2016]上的表达式,并证明φ(x)在闭区间[2015,2016]上单调递减;(3)设h(x)=x2+2mx+m2﹣m+1(其中m为常数),若h(g(x))≥m2﹣m﹣1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围.2016年上海市静安区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(4分)已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣,则实数a的值为1.【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程:x2=y,得到焦点坐标为F(0,),准线方程:y=﹣,再结合题意准线方程为,比较系数可得a=1.【解答】解:∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y,∴2p=,可得=,焦点坐标为F(0,),准线方程:y=﹣再根据题意,准线方程为,∴﹣=﹣,可得a=1故答案为:1【点评】本题给出含有字母参数的抛物线方程,在已知准线的情况下求参数的值,着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质,属于基础题.2.(4分)在等差数列{an}(n∈N*)中,已知公差d=2,a2007=2007,则a2016=2025.【考点】83:等差数列的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;33:函数思想;34:方程思想;54:等差数列与等比数列.【分析】直接利用等差数列的性质写出结果即可.【解答】解:在等差数列{an}(n∈N*)中,已知公差d=2,a2007=2007,则a2016=a2007+(2016﹣2007)d=2007+9×2=2025.故答案为:2025.【点评】本题考查等差数列的简单性质的应用,是基础题.3.(4分)设x=cosα,且,则arcsinx的取值范围是.【考点】HV:反三角函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;56:三角函数的求值.【分析】由x=cosα,,可得﹣≤cosα≤1,即﹣≤x≤1.利用反正弦函数的定义可得﹣≤arcsinx≤,即可得出结论.【解答】解:∵x=cosα,,∴﹣≤cosα≤1,即﹣≤x≤1.由反正弦函数的定义可得﹣≤arcsinx≤,即arcsinx的取值范围为[﹣,].故答案为:[﹣,].【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域,反正弦函数的定义,属于基础题.4.(4分)已知球的半径为24cm,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是12288πcm3.【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离;5Q:立体几何.【分析】设圆锥的底面半径为r,结合已知可得圆锥的表面积S=πr(r+)=4π×242,求出底面半径,代入圆锥体积公式,可得答案.【解答】解:∵球的半径为24cm,圆锥的高等于这个球的直径,∴圆锥的高h=48cm,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长为:cm,故圆锥的表面积S=πr(r+)=4π×242cm2,解得:r=16cm,故圆锥的体积V==12288πcm3,故答案为:12288π【点评】本题考查的知识点是旋转体,圆锥的几何特征,球的表面积公式,难度中档.5.(4分)方程的解为x=3.【考点】4H:对数的运算性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;33:函数思想;4A:数学模型法;51:函数的性质及应用.【分析】利用换底公式变形,转化为一元二次方程,求解后验根得答案.【解答】解:由方程,得=3,即,∴,∴2lg(x﹣1)=lg(x2+x﹣8).∴(x﹣1)2=x2+x﹣8解得:x=3.验证当x=3时,原方程有意义,∴原方程的解为x=3.故答案为:x=3.【点评】本题考查对数的运算性质,考查了对数方程的解法,关键是注意验根,是基础题.6.(4分)直线x﹣y﹣2=0关于直线x﹣2y+2=0对称的直线方程是x﹣7y+22=0.【考点】IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.菁优网版权所有【专题】34:方程思想;35:转化思想;5B:直线与圆.【分析】联立,可得交点M(6,4).取直线x﹣y﹣2=0上的一点P(2,0),设点P关于直线x﹣2y+2=0对称点P′(a,b),利用垂直平分线的性质即可得出.【解答】解:联立,解得x=6,y=4.可得交点M(6,4).取直线x﹣y﹣2=0上的一点P(2,0),设点P关于直线x﹣2y+2=0对称点P′(a,b),则,解得P′,经过点M,P′的直线方程为:y﹣4=(x﹣6),化为:x﹣7y+22=0.则经过点M,P′的直线即为所求.故答案为:x﹣7y+22=0.【点评】本题考查了垂直平分线的性质、直线的交点,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(4分)已知复数z满足z+|z|=2+8i,其中i为虚数单位,则|z|=17.【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;5N:数系的扩充和复数.【分析】设出z=a+bi(a,b∈R),代入z+|z|,然后列出方程组,求解即可得a,b的值,再由复数求模公式即可得答案.【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=a+bi+=2+8i,∴,解得:.则|z|=.故答案为:17.【点评】本题考查了复数求模,考查了复数相等的基本条件,是基础题.8.(4分)(x+y+z)8的展开式中项x3yz4的系数等于280.(用数值作答)【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;49:综合法;5P:二项式定理.【分析】由条件利用二项式的意义以及组合的知识,求得展开式中x3yz4的系数.【解答】解:(x+y+z)8的展开式表示8个因式(x+y+z)的积,故展开式中项x3yz4,即这8个因式中任意选出3个取x,从剩下的5个中任意选4个取z,最后的一个取y,即可得到含项x3yz4的项,故x3yz4的系数为等于••=280,故答案为:280.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题9.(4分)在产品检验时,常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查,恰好有2件是不合格品的抽法有13968种.(用数值作答)【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有【专题】11:计算题;36:整体思想;4O:定义法;5O:排列组合.【分析】由题意知本题是一个组合问题,抽出的三件产品恰好有两件次品,则包括两件次品和两件正品.【解答】解:从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查,恰好有2件是不合格品的抽法有,则包括两件次品和两件正品,共有C32C972=13968种结果.故答案为:13968.【点评】本题考查排列组合的实际应用,本题解题的关键是看清题目抽取的产品与顺序无关,是一个组合问题,教材中出现过类似的问题.10.(4分)经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点,且面积最小的圆的方程是5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0.【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;5B:直线与圆.【分析】题意可知,弦长为直径的圆的面积最小.求出半弦长,就是最小的圆的半径,求解即可.【解答】解:∵圆x2+y2+2x﹣4y+