搜索
2016年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为．2．（4分）在等差数列{an}（n∈N*）中，已知公差d=2，a2007=2007，则a2016=．3．（4分）设x=cosα，且，则arcsinx的取值范围是．4．（4分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是cm3．5．（4分）方程的解为．6．（4分）直线x﹣y﹣2=0关于直线x﹣2y+2=0对称的直线方程是．7．（4分）已知复数z满足z+|z|=2+8i，其中i为虚数单位，则|z|=．8．（4分）（x+y+z）8的展开式中项x3yz4的系数等于．（用数值作答）9．（4分）在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有种．（用数值作答）10．（4分）经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，坐标原点O（0，0）、点P（1，2），将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的横坐标是．12．（4分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积S=a2﹣b2﹣c2+2bc，则sinA=．（用数值作答）13．（4分）已知各项皆为正数的等比数列{an}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项am、an使得=4a1，则+的最小值为．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）组合数恒等于（）A．B．C．D．16．（5分）函数的反函数是（）A．B．C．D．17．（5分）已知数列{an}的通项公式为，则=（）A．﹣2B．0C．2D．不存在18．（5分）下列四个命题中，真命题是（）A．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线C．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线D．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点．求：（1）异面直线BD1与CE所成角的余弦值；（2）点A到平面A1EC的距离．20．（14分）李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”．某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%．每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营．如此每月循环继续．（1）问到2015年年底（按照12个月计算），该创客有余款多少元？（结果保留至整数元）（2）如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年（12个月）能否还清银行贷款？21．（14分）设P1和P2是双曲线上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O．（1）若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证：k1k2=；（2）若双曲线的焦点分别为、，点P1的坐标为（2，1），直线OM的斜率为，求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．23．（18分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2x+1．（1）求f（x）与g（x）的解析式；（2）若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数φ（x），当﹣1≤x≤1时，φ（x）=f（x），试求φ（x）在闭区间[2015，2016]上的表达式，并证明φ（x）在闭区间[2015，2016]上单调递减；（3）设h（x）=x2+2mx+m2﹣m+1（其中m为常数），若h（g（x））≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．2016年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为1．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程：x2=y，得到焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣，再结合题意准线方程为，比较系数可得a=1．【解答】解：∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y，∴2p=，可得=，焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣再根据题意，准线方程为，∴﹣=﹣，可得a=1故答案为：1【点评】本题给出含有字母参数的抛物线方程，在已知准线的情况下求参数的值，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题．2．（4分）在等差数列{an}（n∈N*）中，已知公差d=2，a2007=2007，则a2016=2025．【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；54：等差数列与等比数列．【分析】直接利用等差数列的性质写出结果即可．【解答】解：在等差数列{an}（n∈N*）中，已知公差d=2，a2007=2007，则a2016=a2007+（2016﹣2007）d=2007+9×2=2025．故答案为：2025．【点评】本题考查等差数列的简单性质的应用，是基础题．3．（4分）设x=cosα，且，则arcsinx的取值范围是．【考点】HV：反三角函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由x=cosα，，可得﹣≤cosα≤1，即﹣≤x≤1．利用反正弦函数的定义可得﹣≤arcsinx≤，即可得出结论．【解答】解：∵x=cosα，，∴﹣≤cosα≤1，即﹣≤x≤1．由反正弦函数的定义可得﹣≤arcsinx≤，即arcsinx的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，反正弦函数的定义，属于基础题．4．（4分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是12288πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合已知可得圆锥的表面积S=πr（r+）=4π×242，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵球的半径为24cm，圆锥的高等于这个球的直径，∴圆锥的高h=48cm，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为：cm，故圆锥的表面积S=πr（r+）=4π×242cm2，解得：r=16cm，故圆锥的体积V==12288πcm3，故答案为：12288π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档．5．（4分）方程的解为x=3．【考点】4H：对数的运算性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】利用换底公式变形，转化为一元二次方程，求解后验根得答案．【解答】解：由方程，得=3，即，∴，∴2lg（x﹣1）=lg（x2+x﹣8）．∴（x﹣1）2=x2+x﹣8解得：x=3．验证当x=3时，原方程有意义，∴原方程的解为x=3．故答案为：x=3．【点评】本题考查对数的运算性质，考查了对数方程的解法，关键是注意验根，是基础题．6．（4分）直线x﹣y﹣2=0关于直线x﹣2y+2=0对称的直线方程是x﹣7y+22=0．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】联立，可得交点M（6，4）．取直线x﹣y﹣2=0上的一点P（2，0），设点P关于直线x﹣2y+2=0对称点P′（a，b），利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解：联立，解得x=6，y=4．可得交点M（6，4）．取直线x﹣y﹣2=0上的一点P（2，0），设点P关于直线x﹣2y+2=0对称点P′（a，b），则，解得P′，经过点M，P′的直线方程为：y﹣4=（x﹣6），化为：x﹣7y+22=0．则经过点M，P′的直线即为所求．故答案为：x﹣7y+22=0．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（4分）已知复数z满足z+|z|=2+8i，其中i为虚数单位，则|z|=17．【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】设出z=a+bi（a，b∈R），代入z+|z|，然后列出方程组，求解即可得a，b的值，再由复数求模公式即可得答案．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则z+|z|=a+bi+=2+8i，∴，解得：．则|z|=．故答案为：17．【点评】本题考查了复数求模，考查了复数相等的基本条件，是基础题．8．（4分）（x+y+z）8的展开式中项x3yz4的系数等于280．（用数值作答）【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由条件利用二项式的意义以及组合的知识，求得展开式中x3yz4的系数．【解答】解：（x+y+z）8的展开式表示8个因式（x+y+z）的积，故展开式中项x3yz4，即这8个因式中任意选出3个取x，从剩下的5个中任意选4个取z，最后的一个取y，即可得到含项x3yz4的项，故x3yz4的系数为等于••=280，故答案为：280．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题9．（4分）在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有13968种．（用数值作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】由题意知本题是一个组合问题，抽出的三件产品恰好有两件次品，则包括两件次品和两件正品．【解答】解：从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有，则包括两件次品和两件正品，共有C32C972=13968种结果．故答案为：13968．【点评】本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是看清题目抽取的产品与顺序无关，是一个组合问题，教材中出现过类似的问题．10．（4分）经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0．【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】题意可知，弦长为直径的圆的面积最小．求出半弦长，就是最小的圆的半径，求解即可．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y+