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2019年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）函数y＝log2（4﹣x2）的定义域是．2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（3，5），则向量的坐标是．3．（3分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是．4．（3分）若直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是．5．（3分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝．6．（3分）在数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，设Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1，则Tn＝．（n∈N*）7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为元．（结果保留两位小数）8．（3分）已知cos（）＝，则cos（）＝．9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是．10．（3分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是cm3．11．（3分）集合A＝{y|y＝logx﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是12．（3分）若定义在实数集R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为．二、选择题13．（3分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A．A•AB．C•CC．A•AD．C•C14．（3分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，则其焦距为（）A．2B．2C．2D．215．（3分）已知下列4个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数③复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．④已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），则x+y＝1．则其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（3分）设表示平面向量，||，||都是小于9的正整数，且满足（||+||）（||+3||）＝105，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位：米）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，E、F分别是CD、PD的中点．（1）求证：CD⊥平面PAE；（2）求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．设f（x）＝sin2x+2acosx+a2﹣6a+13．x∈[﹣，]．（1）求函数f（x）的最大值M；（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b＞0且b≠1），使得当a＞1时，y＝logbM有意义，且y的最大值是﹣？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．20．设m＞0，椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2的焦点相同．（1）求椭圆Γ与双曲线C的方程；（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若k1•k2＝﹣1，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点T（0，2），若对于直线l：y＝x+b，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且9＜4＜10，求实数b的取值范围．21．将n个数a1，a2，…，an的连乘积a1•a2•…•an记为ai，将n个数a1，a2，…，an的和a1+a2+…+an记为，n∈N*）（1）若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，设Pn＝，Sn＝．求P5+S5；（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，求[]的值；（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由（已知＝）．2019年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）函数y＝log2（4﹣x2）的定义域是（﹣2，2）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，4﹣x2＞0，得x2＜4，得﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基础．2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（3，5），则向量的坐标是（2，3）．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据即可求出向量的坐标．【解答】解：．故答案为：（2，3）．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算．3．（3分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是10．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，，要求x4的项的系数∴10﹣3r＝4，∴r＝2，∴x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故答案为：10【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．（3分）若直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是．【考点】I3：直线的斜率；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则，解得即可．【解答】解：直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则，解得a＝，故答案为：【点评】本题给出两条直线互相平行，求参数a的值．着重考查了两条直线平行的条件及其应用的知识，属于基础题．5．（3分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝﹣．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知结合韦达定理，可得α+β＝﹣，α•β＝，进而根据＝代入可得答案．【解答】解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，∴α+β＝﹣，α•β＝，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．6．（3分）在数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，设Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1，则Tn＝．（n∈N*）【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列，求出数列的和，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝＝．则Tn＝＝．故答案为：．【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为13795.16元．（结果保留两位小数）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】本题实质为一个等比数列求某一项题，建模，得知b2004＝5000，q＝0.07，计算b2019，即可【解答】解：b2004＝5000，q＝0.07，∴b2019＝b2004q15＝5000•（0.07）15≈13795.16，故答案为：13795.16．【点评】本题考查了实际问题的在实际生活中的应用，考查了等比数列的应用，属于基础题8．（3分）已知cos（）＝，则cos（）＝．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用诱导公式求得sin（﹣α）＝，再利用二倍角的余弦公式求得cos（）的值．【解答】解：∵已知cos（）＝sin（﹣α）＝，则cos（）＝1﹣2＝1﹣2•＝，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝10．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】根据题意，联立直线的方程分析可得圆心的坐标，又由直线与圆的位置关系可得r＝＝，由圆的标准方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，，解可得：，即圆心的坐标为（1，﹣2）；又由圆与直线x+3y+15＝0相切，则r＝＝，即要求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝10；故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝10．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的交点，属于基础题．10．（3分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是12288πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合已知可得圆锥的表面积S＝πr（r+）＝4π×242，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵球的半径为24cm，圆锥的高等于这个球的直径，∴圆锥的高h＝48cm，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为：cm，故圆锥的表面积S＝πr（r+）＝4π×242cm2，解得：r＝16cm，故圆锥的体积V＝＝12288πcm3，故答案为：12288π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档．11．（3分）集合A＝{y|y＝logx﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是t≤﹣【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】根据题意，先分析集合A，是减函数，结合x的取值范围分析可得y的取值范围，即可得集合A；又A∩B＝A，则A⊆B，设f（x）＝x2﹣5tx+1，则函数f（x）与x轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2；进而可得x1≤﹣3，x2≥﹣1，结合二次函数的性质可得，解可得t的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于集合A，是减函数，且1≤x≤2；则﹣3≤y≤﹣1，故A