搜索
2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁UB）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m、n、α、β∈R，m＜n，α＜β，若α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜”连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4B．5C．6D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{an}满足，则称数列{an}为“算术平方根递推数列”．已知数列{xn}满足，且，点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．（1）试判断数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记yn=lg（2xn+1）（n∈N*），求证：数列{yn}是等比数列，并求出通项公式yn；（3）从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{zn}：．若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{zn}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁UB）∩A={x|﹣1＜x≤}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】5J：集合．【分析】求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行计算即可．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁UB={x|x≤}，则（∁UB）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交，并，补运算，比较基础．2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令被开方数大于等于0，真数大于0，分母不为0得到不等式组，求出x的范围写出区间形式．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；3A：极限思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】设数列中的任意一项为a，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】利用|﹣|=≥||﹣1，即可求出【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣1【点评】本题考查了向量的模的计算公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了反函数与原函数的性质关系．属于基础题．9．（3分）已知m、n、α、β∈R，m＜n，α＜β，若α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n＜β（用符号“＜”连接起来）．【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可知α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，从而判断大小关系．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的关系应用，属于基础题．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，求出的坐标，代入，结合隐含条件求得实数λ的值．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，]．【考点】7I：不等式的综合．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由A（x）表示不小于x的最小整数分类讨论可得2x•A（x）的取值范围，解不等式验证可得．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]【点评】本题考查新定义的理解，涉及分类讨论的思想，正确A（x）取值意义是解决本题的关键，属中档题．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【考点】KH：直线与