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2019年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）不等式＜0的解集为．2．（3分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为．3．（3分）若复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则z2的共轭复数为．4．（3分）记等差数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，若a5＝1，则S9＝．5．（3分）若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝．6．（3分）已知a＞0，b＞0，若a+b＝4，则a2+b2的最小值为．7．（3分）已知三阶行列式，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和．8．（3分）设a∈R，若（2+）（1+x）5展开式中x2的系数为10，则a＝．9．（3分）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．10．（3分）已知数列{an}（n∈N*），若a1＝1，an+1+an＝（）n，则a2n＝．11．（3分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，若与的夹角记为θij，其中i，j∈{1，2，3，4，5}，且i≠j，则||cosθij的最大值为．12．（3分）如图，l1、l2是过点M夹角为的两条直线，且与圆心为O，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P到l1、l2的距离分比为d1、d2，那么2d1+d2的最小值为．二、选择题13．（3分）设函数y＝f（x），“该函数的图象过点（1，1）”是“该函数为幂函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）下列关于函数y＝sinx与y＝arcsinx的命题中正确的是（）A．它们互为反函数B．都是增函数C．都是周期函数D．都是奇函数15．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线的条数为（）A．3B．4C．5D．616．（3分）如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A．（|x|﹣y﹣1）•（1﹣x2+y2）＝0B．（）•（1﹣x2+y2）＝0C．（|x|﹣y﹣1）•（）＝0D．（）•（）＝0三．解答题17．如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30°．（1）求该量杯的侧面积S；（2）若要在圆锥形量杯的一条母线PA上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少？当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？18．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1，x∈（0，π）．（1）求函数y＝f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，若f（A）＝f（B），且A≠B，AB＝，求△ABC外接圆半径的长．19．已知函数f（x）＝+b，其中a，b∈R．（1）当a＝6，b＝0时，求满足f（|x|）＝2x的x的值；（2）若f（x）为奇函数且非偶函数，求a与b的关系式．20．椭圆Γ：+＝1．（1）若抛物线C的焦点与Γ的焦点重合，求C的标准方程；（2）若Γ的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，求点M的坐标；（3）若O为Γ的中心，P为Γ上一点（非Γ的顶点），过Γ的左顶点B，作BQ∥OP，BQ交y轴于点Q，交Γ于点N，求证：•＝22．21．给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}．记集合B＝{ai+aj|ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}．（1）若A＝{﹣3，0，1，2}，求集合B；（2）若a1，a2，…an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n﹣1；（3）若a1，a2，…，an构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B中元素的个数及所有元素之和．2019年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）不等式＜0的解集为（0，1）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，由此解得不等式的解集．【解答】解：由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．（3分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为y＝±x．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的方程﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，求得a，b，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线x2﹣＝1的a＝1，b＝，可得渐近线方程为y＝±x，即有y＝±x．故答案为：y＝±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．3．（3分）若复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则z2的共轭复数为2i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：若复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，则共轭复数为2i，故答案为：2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．（3分）记等差数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，若a5＝1，则S9＝9．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由a5＝1，利用等差数列的性质可得a1+a9＝2a5．再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵a5＝1，∴a1+a9＝2a5．则S9＝＝9a5＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（3分）若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝log2x．【考点】4R：反函数．【分析】欲求函数y＝ax的反函数，先由原函数式解出x，后将x，y互换即得．最后根据f（2）＝1求出a值．【解答】解：f（x）＝log2x函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax，又f（2）＝1，即loga2＝1，所以，a＝2，故f（x）＝log2x．故答案是：log2x．【点评】本题主要考查了反函数的求法，属于基础题．6．（3分）已知a＞0，b＞0，若a+b＝4，则a2+b2的最小值为．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式，可求．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝4，又，则a2+b2≥8，即最小值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了利用基本不等式，求解最值的应用．7．（3分）已知三阶行列式，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和0．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】元素8的余子式为：＝﹣6，元素8的代数余子式为：（﹣1）5×＝6，由此能求出元素8的余子式的值与代数余子式的值之和．【解答】解：∵三阶行列式，∴元素8的余子式为：＝﹣6，元素8的代数余子式为：（﹣1）5×＝6，∴元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为：﹣6+6＝0．故答案为：0．【点评】本题考查行列式的余子式与代数余子式之和的求法，考查余子式、代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（3分）设a∈R，若（2+）（1+x）5展开式中x2的系数为10，则a＝﹣1．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】把（1+x）5按照二项式定理展开，可得x2的系数，再根据x2的系数为10，求得实数a的值．【解答】解：∴（2+）（1+x）5＝（2+）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故x2的系数为20+10a＝10，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9．（3分）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有96种．（用数字作答）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生；按第一棒是丙或甲、乙中一人，分为两类，分别计算其情况数目，结合分类计数原理，计算可得答案．【解答】解：分两类：第一棒是丙有C11•C21•A44＝48，第一棒是甲、乙中一人有C21•C11•A44＝48因此共有方案48+48＝96种；故答案为96．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析有特殊要求的元素，对于本题，注意分类的标准前后统一，要做到不重不漏．10．（3分）已知数列{an}（n∈N*），若a1＝1，an+1+an＝（）n，则a2n＝．【考点】8H：数列递推式；8J：数列的极限．【专题】33：函数思想；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由已知推导出，，从而，由此能求出a2n．【解答】解：∵数列{an}（n∈N*）满足a1＝1，an+1+an＝（）n，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝，∴．又a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n﹣2﹣a2n﹣1）＝＝．即．∴．∴．【点评】本题考查由数列递推式求数列的通项公式，考查数列极限的求法，是中档题．11．（3分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，若与的夹角记为θij，其中i，j∈{1，2，3，4，5}，且i≠j，则||cosθij的最大值为．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】13：作图题；5A：平面向量及应用．【分析】由向量的投影的几何意义有：||cosθij的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在直角三角形AED中，向量在向量方向上的投影最大，即可得解．【解答】解：由向量的投影的几何意义有：||cosθij的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在向量方向上的投影最大，且为，故答案为：．【点评】本题考查了向量的投影的几何意义，属简单题．12．（3分）如图，l1、l2是过点M夹角为的两条直线，且与圆心为O，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P到l1、l2的距离分比为d1、d2，那么2d1+d2的最小值为3﹣．【考点】J9：直线与圆的位置关系；JE：直线和圆的方程的应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，分析可得|OM|＝2，建立坐标系，分析可得l1、l2的关于y轴对称，据此设出直线l1与l2的方程，P（cosθ，sinθ），由此表示2d1+d2，结合三角函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，l1、l2是过点M夹角为的两条直线，且与圆心为O，半径r＝1的圆分别相切，则|OM|＝2r＝2，如图建立坐标系，以圆心O为坐标原点，OM为y轴建立坐标系，M（0，2），又由l1、l2是过点M夹角为的两条直线，则l1、l2的关于y轴对称，易得l1、l2的倾斜角为和，则设l1的方程为y＝x+2，l2的方程为y＝﹣x+2，P是圆周上的一个动点，设P（cosθ，sinθ），则d1＝＝＝1+，d2＝＝＝1﹣，则2d1+d2＝2+（cosθ﹣sinθ）+1﹣×（cosθ+sinθ）＝3+＝3+sin（﹣θ）≥3﹣；即2d1+d2的最小值为3﹣；故答案为：3﹣．【点评】本题考查直线与圆方程的应用，注意建立坐标系，表示2d1+d2．二、选择题13．（3分）设函数y＝f（x），“该函数的图象过点（1，1）”是“该函数为幂函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充