第三章系统时间响应分析

第三章时间响应分析线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的响应分析线性系统的稳态误差计算2.1系统时间响应及其组成0tσ超调量允许误差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(h系统的时间响应及其组成是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；控制系统性能要求1、稳定2、稳态误差3、暂态品质一、系统时间响应单自由度的m-k系统12()()()ytytyt齐次微分方程的通解+特解由理论力学与微分方程中解的理论知：/nkm()cosoytYt1()sincosnnytAtBt系统的无阻尼固有频率211FYk2()coscosmkYtFt第一、二项:初始条件（初始状态）引起自由响应；第三项:作用力引起的自由响应，其振动频率均为Wn，幅值受到F的影响。第四项:作用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力频率W.系统的时间响应分类:1）振动性质:自由响应：与作用力频率无关的响应；强迫响应：与作用力频率有关的响应；2）振动来源:零输入响应：由系统初始初态引起的自由响应；零状态响应：仅由输入引起的响应（自由+强迫）；3）状态收敛：瞬态响应：系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程；用动态性能指标描述。稳态响应：系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式；用稳态性能指标描述。控制工程主要研究:零状态响应。单位脉冲传递函数Laplace逆变换就是系统的零状态响应。第一项:初态引起的自由响应第二项:输入引起的自由响应第三项:输入引起的强迫响应的齐次方程的特征根(1,...,)isinn和s只取决于系统的结构与参数当输入函数有导数项:方程为：()(1)110()()()()nnnnaytaytaytayt()(1)110()()()(),mmmmbxtbxtbxtbxtnm利用线性叠加原理:利用方程导数关系，可分别求出作用时的响应函数，然后叠加，就可以求得方程的解，即系统的响应函数。()(),(),,()mxtxtxtisRe0istRe0ist瞬态响应：若所有，自由响应随着时间逐渐衰减,当时自由响应则趋于零,系统稳定,自由响应称为瞬态响应.反之，只要有一个，即传递函数的相应极点在复数[s]平面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当时，自由响应也趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。稳态响应:指强迫响应。稳定性、响应快速性、响应准确性:与自由响应密切相关的。正负:决定自由响应是衰减与发散，系统稳定与不稳定；Reis绝对值的大小：决定自由响应衰减速度，及系统趋于稳态响应的速度；Reis决定自由响应的振荡情况，决定系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，影响响应的准确性。Imis不稳定不稳定稳定临界稳定虚部小离虚轴远离虚轴近虚部大二、典型输入信号确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。非确定性信号：变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些统计规律。任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，由关系式1212()()()()()ooiiXsXsGsXsXs输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号;单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和随机函数1）单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故称位置输入信号；2）单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速度输入信号；3）单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。本课程主要分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数的时间响应2.2一阶系统时间响应一、一阶系统数学模型i(t)+r(t)c(t)+（a）电路图RCR(s)C(s)（b）等效方块图()ccduRCurtdt()1()()1CsGsRsTS非周期性的惯性环节T称为一阶系统的时间常数它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性。二、一阶系统的单位脉冲响应输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应。111()[()][]1wtLGsLTs/1()(0)tTwtetT0()()()()iWsXsGsXs()[()]1iXsLt()()WsGs单位脉冲响应函数:系统传递函数的Laplace逆变换！！！/1()(0)tTwtetT一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线过渡过程时间：将指数曲衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4T。称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为。stst统的时间常数T愈小,愈短,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。三、一阶系统单位阶跃响应输入信号为单位阶跃函数时，即响应函数的Laplace变换式为：其时间响应函数为：1()(),[()]ixtutLuts011()()()1iXsGsXsTss1/()[()]1(0)tTooxtLXset/()1(0)tToxtet一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为1过渡过程当t4T时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间为4T两个重要的特征点：A点：其对应的时间t=T时，系统的响应达到了稳态值的63.2%；零点：其对应的t=0时，切线斜率（响应速度）等于1/T。指数曲线的斜率，即速率是随时间t的增大而单调减小的，当t为时，其响应速度为零；()ouxt实验方法求一阶系统的传递函数1.输入单位阶跃信号，并测出它的响应曲线及稳态值；2.从响应曲线上找出0.632（即特征点A）所对应的时间t为T四、一阶系统单位斜坡响应不同输入信号响应关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。小结：系统时间响应及其组成；一阶系统单位脉冲响应和单位阶跃响应。作业：3.43.73.92.3二阶系统时间响应线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的响应分析线性系统的稳态误差计算0222nnwsws122,1nnwws特征方程：特征根：一、二阶系统数学模型2022()()()2ninnXsGsXsssS(S+2ξωn)ωn2R(s)C(s)图3-8标准形式的二阶系统方块图_22()()()21CsKsRsTSTSmnTKKTm21自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）10，欠阻尼系统，闭环极点为共扼复根；0，零阻尼，虚轴上一对纯虚根；122,1nnwws1,2nsj21,21nnsj1，临界阻尼，两个相等的负实根；1,过阻尼，两个不相等的负实根。1,2ns122,1nnwws21,21nns可见，随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根也不同。过阻尼二阶系统:传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘,因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的串联。临界阻尼的二阶系统：传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘,但考虑负载效应,是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。二阶系统的响应特性完全由ζ和ωn两个参数决定，所以ζ、ωn是二阶系统的两个重要参数。图3-9二阶系统极点分布左半平面ξ00ξ1ξ=1两个相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0jω右半平面ξ0ξ1两个不等根0二、二阶系统的单位脉冲响应()()()oiXsGsXs()[()]1iXsLt()t0()xt()wt输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统的输出称为单位脉冲响应函数，特别记为。()()WsGs同样有：单位脉冲响应是传递函数的Laplace逆变换记，称为二阶系统的有阻尼固有频率。21dnd212222-td21w()t01()(1)=esint1nnnnnntLs（1）当，欠阻尼系统时0121,21nnsj1nnn22w(t)[]=sintt0nnLs0（2）当，系统为无阻尼系统时，1,2nsj（3）当，系统为临界阻尼系统时，12t12nn2w(t)[]=t0()nnLtes1,2ns21,21nns（4）当1，系统为过阻尼系统1122211w()21(1)(1)nnntLLss－－＋22-(1)-(1)2021nnttneet－＋欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线：减幅的正弦振荡曲线。ξ愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于称为时间衰减函数，记为σ)。1/nd1()(),[()]ixtutLuts22211()()2nonnXsGsssss21()()nndndsssjsj三、二阶系统的单位阶跃响应若系统的输入信号为单位阶跃函数，即则二阶系统的阶跃响应函数的Laplace变换为：1112222221()()()11ecossin1nndondndtddsxtLLLssstt20211()1esin1ntdxttarctg01（1）当，系统为欠阻尼系统或第二项是瞬态项，是减幅正弦振荡函数，它的振幅随时间t的增加而减小在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。21,21nnsj0（2）当，系统为无阻尼系统1（3）当，系统为临界阻尼系统1,2nsj0221()1cosnnsxttss1,2ns1111122-2111()()()1-(1)nnnonnntnsxtLLLLLssssste1（4）当，系统为过阻尼系统21,21nns112221()[(+1)][(-1)nonnsxtLLsss］1112222221111121(1)121(-1)1LLLsss22(1)(-1)2222111e-e21(1)21(-1)nntt12212ee121ststnss01过渡过程的持续时间：无振荡单调上升的曲线：ξ=1时的时间t最短；在欠阻尼系统中，当ξ=0.4-0.8时，时间比ξ=1时的更短，而且振荡不太严重。二阶系统的单位阶跃响应函数过渡过程特性：为衰减振荡，随着阻尼的减小，振荡愈加强烈；ξ=0：等幅振荡；ξ=1和ξ1时：单调上升。n在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。设计：二阶系统一般工作在ξ=0.4-0.8的欠阻尼状态。保证振荡适度、持续时间较短。特征参数与ξ值决定瞬态