第二章连续时间傅里叶变换

第二章连续时间傅里叶变换1周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1)狄义赫利条件：在同一个周期1T内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积dttfT1)(。(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集}:sin,cos,1{11Nntntn或复指数函数集}:{1Znetjn，函数周期为T1，角频率为11122Tf。(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。(4)三角形式的FS：(i)展开式：1110)sin()(nnntnbtconaatf(ii)系数计算公式：(a)直流分量：1)(110TdttfTa(b)n次谐波余弦分量：NntdtntfTaTn,cos)(2111(c)n次谐波的正弦分量：NntdtntfTbTn1,sin)(211(iii)系数na和nb统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。(iv)称11/1Tf为信号的基波、基频；1nf为信号的n次谐波。(v)合并同频率的正余弦项得：(a)110)cos()(nnntncctf(b)110)sin()(nnntnddtfn和n分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。(vi)傅里叶系数之间的关系：(a)000dca(b)nnnnndcasincos(c)nnnnnndcbcossin(d)000adc(e)2222nnnnbadc(f)nnnabarctg(g)nnnbaarctg(5)复指数形式的FS：(i)展开式：ntjnneFtf1)((ii)系数计算：ZndtetfTFTtjnn,)(1111(iii)系数之间的关系：0),(210,0njbanaFnnn**,nnnnFFFF)0(,21212122nbadcFFnnnnnn)0(,ndcFFnnnnnnnaFFjbFFnnn/)0(4422222nFFFbadcnnnnnnn(iv)nF关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。(v)正负n(n非零)处的nF的幅度和等于nc或nd的幅度。(6)奇偶信号的FS：(i)偶信号的FS：111cos)(2TntdtntfTa；0sin)(2111TntdtntfTb；nnnadcnnnnnFajbaF22(nF实，偶对称)；0n；2n(ii)偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。(iii)奇信号的FS：00naa；111sin)(2TntdtntfTb；nnnnjFbdc2；nnnjbFF21(nF纯虚，奇对称)；2n；0n(iv)奇的周期信号的FS系数只有正弦项。(7)周期信号的傅里叶频谱：(i)称nF为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。(ii)称nF为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。(iii)称n为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率1n(或频率1nf)上有值。(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T。(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。(viii)称nc为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。(ix)称nF为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。(8)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点：(i)谱线包络线为Sa函数；(ii)谱线包络线过零点：(其中112T为谱线间隔)：kTn1，或kn21，0,kZk即当/21kn时，0nnnFca。(iii)在频域，能量集中在第一个过零点之内。(iv)带宽/2或/1f只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关。(定义/2~0为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)(9)周期信号的功率：nnFtfP2)((10)帕斯瓦尔方程：1)(121TdttfT2nnF2非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)(1)信号f(t)的傅里叶变换：)()()(tfFdtetfFtj是信号)(tf的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。(2)频谱密度函数)(F的逆傅里叶变换为：)(ˆ)(21)(1FFdeFtftj(3)称tje为FT的变换核函数，tje为IFT的变换核函数。(4)FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。(5)FT具有可逆性。如果)()(FtfF，则必有)()(1tfFF；反之亦然。(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成)()()(jeFF(i)称)(F为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性；(ii)称)()(FArg为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。(7)FT频谱可分解为实部和虚部：)()()(irjFFF)()(arctan)(,)()()(22riirFFFFF)(sin)()(,)(cos)()(FFFFir(8)FT存在的充分条件：时域信号)(tf绝对可积，即dttf)(。注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。(9)FT及IFT在赫兹域的定义：dtetffFftj2)()(；dfefFtfftj2)()((10)比较FS和FT：FSFT分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3典型非周期信号的FT频谱(1)单边指数信号：)0()()(atuetfatjadtedteedtetfFtjatjattj1)()(0)(0幅度谱：221)(aF相位谱：aarctgajaArgFArg22)()(单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。|F()|1/a()/2-/200t01f(t)(a)(b)(c)图1(a)单边指数信号(b)幅度谱(c)相位谱(2)偶双边指数信号：)0()(aetfta00)()(dteedteedtetfFtjattjattj220)(0)(211aajajadtedtetjatja，为实偶函数。幅度谱：222)(aaF相位谱：0)(偶双边指数信号及其频谱如图2所示。F()2/a0t01f(t)(a)(b)图2(a)偶双边指数信号(b)频谱(3)矩形脉冲信号：)()(tEGtf(脉宽为、脉高为E)2/2/2/2/cos)()(tdtEdtEedtetfFtjtj2sin2/2/SaEtE，为实函数。幅度谱：2)(SaEF相位谱：ZkFkkFkk)0)(()1(4)12(2,)0)(()12(24,0)(对应对应矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。F()E=矩形脉冲面积0246-/20/2tf(t)=)(tEGE(a)(b)图3(a)矩形脉冲信号(b)频谱矩形脉冲FT的特点：(i)FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；(ii)FT的过零点位置为)0(/2kk；(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间/2,/2之内(iv)带宽为/2B或/1fB，只与脉宽有关，与脉高E无关。信号等效脉宽：)0(/)0(fF信号等效带宽：1fBF()0t0f(t)(a)(b)B图4(a)信号的等效脉宽(b)等效带宽(4)符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。jdtetSgnFtj2)()(幅度谱：2)(F相位谱：0,2/0,2/)(符号函数及其频谱如图5所示。|F()|-aa(b)Sgn(t)10t-1(a)图5(a)符号函数(b)频谱(5)冲激信号：EEedtetEtEFjtj0)()(均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。2)(1EEF单位冲激信号及直流信号的频谱函数总结：FT定义EtEF)(FT可逆性)(1EEF)(2EEFFT可逆性2)(1EEFIFT定义(6)阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FTjF1)()(在0处有一个冲激，该冲激来自)(tu中的直流分量。单位阶跃信号及其幅度谱如图6所示。|F()|()0u(t)10t图6单位阶跃函数及其幅度谱4FT的性质(1)线性性：nnnnnntfFatfaF)()(线性性包括：齐次性)()(tfaFtafF；叠加性)()()()(2121tfFtfFtftfF。(2)奇偶虚实性：偶偶奇奇实偶实偶(FT可变为余弦变换)实奇虚奇(FT可变为正弦变换)实信号的FT：(实信号可分解为：实偶+实奇)实部是偶函数，虚部是奇函数：实实偶+j实奇偶共扼对称：)()(*FF幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数：实实偶EXP(实奇)虚信号的FT具有奇共扼对称性：)()(*FF偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称：)()(FF。实信号或虚信号的FT幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数。(3)反褶和共轭性：时域频域原信号f(t)F()反褶f(-t)F(-)共扼f*(t)F*(-)反褶+共扼f*(-t)F*()(4)对偶性：傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的：tjtjee*；tjtjee*deFtfFFtj)(21)()(1**)(21FFdeggFtj)()(表示按自变量进行傅里叶变换，结果是t的函数。IFT可以通过FT来实现。FT的对偶特性：)(2)]([ftFF若)(tf为偶函数，则)(2)(ftFF；若)(tf为奇函数，则)(2)(ftFF。(5)尺度变换特性：)0(,1)]([aaFaatfF此性质表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。(6)时移特性：0)()()(0tjtjetfFeFttfFo时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位。与尺度变换特性综合：)0(,1)(/00aeaFatatfFatj(7)频移特性：)()(00FetfFtj与尺度变换特性综合：)0(,10/0aaFeatfaFatj频谱搬移：时域信号乘以一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率位置处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的。(8)微分特性：时域微分：