第六章离散时间系统的时域分析

第六章离散时间系统的时域分析本章的内容1.离散时间信号-序列2.离散时间系统的数学模型3.常系数线性差分方程的求解4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应5.卷积6.反卷积第一节前言一、离散时间系统研究的发展史离散时间系统研究的历史：17世纪的经典数值分析技术—奠定它的数学基础。20世纪40和50年代的研究抽样数据控制系统60年代计算机科学的发展与应用是离散时间系统的理论研究和实践进入一个新阶段。1965年库利（J.W.Cooley)和图基(J.W.Tukey)—发明FFT快速傅里叶变换。同时，超大规模集成电路研制的进展使得体积小、重量轻、成本低的离散时间系统得以实现。用数字信号处理的观点来认识和分析各种问题。20世纪未，数字信号处理技术迅速发展。如通信、雷达、控制、航空与航天、遥感、声纳、生物医学、地震学、核物理学、微电子学…。二、离散时间系统、连续时间系统时域分析对比时域经典求解方法：相同。先求齐次解，再求特解。对于连续时间系统离散时间系统数学模型：微分方程描述差分方程描述时域卷积（和）求解方法：相同，重要。变换域求解方法：拉普拉斯变换与傅里叶变换法z变换与序列傅里叶变换、离散傅里叶变换运用系统函数的概念：处理各种问题。三、离散、连续时间系统研究的差异研究二者差异主要方面：1、数学模型的建立与求解2、系统性能分析3、系统实现原理4、连续时间系统注重研究一维变量的研究，离散时间系统更注重二维、三维或多维技术的研究。离散时间系统的优点：1、精度高，便于实现大规模集成2、重量轻、体积小3、灵活，通用性四、离散时间系统研究离散时间系统——数字信号处理；数字化；模拟与数字系统结合离散时间信号——连续时间信号抽样；计算机的输入、输出；时间序列（时钟信号）第二节离散时间信号——序列一、离散时间信号概念()xnTn：信号的时间函数只在某些离散瞬时有定义值,即T序列,0,1,2,TnTn其中为均匀的离散时刻之间隔;　　称函数的宗量()xn：离散信号处理的非实时性样值表示序列n称某序号的函数值===在第个样点的nx(n)“样值”n其中表示各函数值在序列中出现的序号()(1)(1)(2)(0)xxnxxx指针表示法：离散信号概念各线段的长短——各序列值的大小。x(n)图解表示：n——横坐标并取整数;纵坐标;－－表示原点位置离散信号的运算()()()znxnyn1）相加：()()()znxnyn2）相乘：逐项对应相加两序列的样值=======新序列逐项对应相乘两序列的样值=======新序列()()znxnm3）延时：m逐项依次左移或右移位原序列============新序列二、离散信号的运算离散信号的运算()()znxn4）反褶：相对纵轴反折波形原序列=========新序列()()znxan5）尺度变换：()a需按规律去除某些点压缩时无法除尽的样点，或补足相应的零值（扩展时多出的样点）n轴上压缩或扩展原序列的波形=========新序列x(n)6.1x(2n)x(n/2)波形如例图所示,分别画出、的波形举例6.10126n)(nx123354630126n)2(nx123354618121042012n)2(nx3264((1)())xnxnxn6）差分：前向差分2()()()(1)()2(1)(2)()xnxxnxnnxxnxnxnn后向差分　　　　　　序列样值与其后面相邻的样值相减离散信号的运算序列样值与其前面相邻的样值相减2nxnE8）能量：()()nkznxk7）累加：n累加至第样点原序列中所有样值=======新序列绝对值平方和序列中所有样值=======能量离散信号的运算典型离散信号１）单位样值序列（单位冲激序列）：ＵnitSample/UnitImpulse()10ninnii　　　　100)0(nnn　　　　三、典型离散信号012n)(n31012n)(in31i2）单位阶跃序列：()10ninunii　　　　100)0(unnn　　　　典型离散信号0()()()()(1)kunnknununn=0,其值=1012345n)(nu12301in)(inu1233）矩形序列：()()()NRnununN1010),(0NRnnNnnN　　　典型离散信号0121NNn)(nRN123典型离散信号4）斜变序列：(0()00)nunnnnnx　　　　0121NNn)(nRN12311aa当时序列是发散的；当时序列是收敛的。5)指数序列：0()0)0(nnannauxnn　　　　典型离散信号012345n)(nx1231a)(nx012345n1231a6）正弦信号：0000022222TT当为时；当为时不为有理数有理；当时非整数数周期性。0()sin()xnn0其中称正弦序列频率典型离散信号012345n)(nx123000()cos()sin()jnxenjnn7)复指数序列：典型离散信号复序列可用极坐标表示：)](arg[)()(nxjenxnx1)(nxnwnx0)](arg[离散信号的分解常用分解法：延迟将任意序列表示为、的单位样值加权信号之和。()(())mxnmxmn()()()0xnmnxmnmmn　其中　　四、离散信号的分解作业下册P367-1，7-2，7-4。第三节离散时间系统的数学模型一、离散时间系统数学模型数学模型()()xnyn：激励信号为一序列，　　　　　　　响应为另一序离统列散时间系离散时间系统x(n)y(n)二、线性、时不变系统的基本特性LTI基本特性线性时不变离散系统满足：均匀性和叠加性。112212112122()(),()()()()()()xnynxnynxnxnycnnccyc（1）：设两对激励与响应　　　　　　线性性　则离散时间系统2()xn2()yn离散时间系统1()xn1()yn离散时间系统1122()()cxncxn1122()()cyncyn二、线性、时不变系统的基本特性LTI基本特性离散时间系统x(n-N)y(n-N)012n)(Nnx3012n)(Nny3012n)(nx3离散时间系统x(n)y(n)012n)(ny3()()()()xnnxynnNyN：设激励与响应　　　　则时不变性基本单元三、离散时间系统的基本单元基本单元:1E（单延时元件位延时）)(ny)1(nyE1相加器)(nx)()(nynx)(ny乘法器)(ny)(naya)(ny)(naya)(ny)(naya6.4某离散时间系统的模拟方框图如例图所示，写出其差分方程()()(1)ynxnayn解：围绕图中相加器可写出举例6.2)(nx)(ny)1(nyaE1)(ny)()1()(nxnayny整理得：常系数线性差分方程：（递归关系式）0101M()(1)()()(1)(M)NaynaynaynNbxnbxnbxn00()()NMkrkraynkbxnr或数学模型(()())()xnxynnknyr其中等式左端由响应序列及其移位序列等构成；右端由激励序列及其延时序列等构成；阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值差。()注：一般因果系统用形后式向右移的向差分方程四、离散时间系统的数学模型差分方程与微分方程：(),(),yttnTynTT对连续若在各点取样值且足够小1))((ynTynTdTtytd则离散、连续模型之间联系五、离散、时间系统的数学模型联系举例3-5假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔子要隔一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对的数目是多少？解：设第n个月兔子对的数目为y(n)。可知：y(0)=0,y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5…可以想到：第n个月时，应有y(n-2)对兔子具有生育能力，因而从y(n-2)对变成2y(n-2)对；另外，还有y(n-1)-y(n-2)对兔子没有生育能力；（新生的）即其差分方程为：y(n)=2y(n-2)+[y(n-1)-y(n-2)]整理得：y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0费班纳西（Fibonacci）数列作业P377-5，7-8，7-9，7-10第四节常系数线性差分方程的求解差分方程的求解方法求解方法：Z代入边界条件迭代法时域经典法零输入与手算逐次代入：仅得数值解利用计算机：先求齐次解与特解=======求系数　　　　　　（求解过程麻烦）：利用齐次解得零输入响应，　　　　　　　　　　利用卷积和求零状态响应：利用变变换域法换法（简便有效）零状态求法一、求解常系数线性差分方程的方法时域经典求解：0101M()(1)()()(1)(M)NaynaynaynNbxnbxnbxn设LTI离散系统的常系数线性差分方程(()())hpynynyn则00()()NMkrkraynKbxnr或差分方程的时域经典求解二、时域经典求解112201011()00)()nNkkNNNNnNNinhacynKaaayncac当齐次方程的特征方程时（，齐次解无重根；12111211(),()KnKnnKhKcncnycn当特征方程有时齐次次解重根；()当特征方程有时，齐次解可共轭根正余为各形式的弦序列。差分方程的求解1、齐次解差分方程的求解0knknknDnDaaDa特解由差分方程右端的函数形式来决定如形式特解选；　形式（不为特征根）特解选自由项　2、特解无重根情况下完全解代入构成一组联立方程为()()0,1,...,1kkVYNCkD矩阵形式为，(0),(1),,(1)NNyyyN阶差分方程应给定个边界条件，如1212121211112(0)(1)(1)(0)(1)(1)NNNNNNNNCCCCCCyDDyCyNNCDC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　差分方程的求解3、完全解—矩阵形式1()()0,1,...,DVkkNYCk求得系数，1112211112N()1CCCCNNNNNVV其中（）称范德莫特逆矩阵（特征根）11V=，＝差分方程的求解差分方程的求解1111242111234312341()()132:4TijijjnnnniAAAnaAAA余子式ijnnijiji+jijij-1注：逆矩阵求解转置　　如=-设A=(a),通常M表示划去a所在行和列下的阶子式,用A=(-1)M表示的1A=A叫代数余子式做的伴随矩阵完全响应的分解：11()()NnkkkynnDChp强迫自由响应y(响应n)y)n(（）112()()NNnnzikkkkkzskynnDCCzszi零状态响应y(n)零输入响应y(n)（）差分方程的求解3、完全响应的分解(1),,()(1),,(()(0),,())1zikzizziziziiCyyNyyNykyyN迭代其中是由零输入条件下边界值求得，　　由起始状态　　　　初始条件；(1),,()0(0),,(1))(zskzszszzszssCyyNyyyNk迭代　　是由零状态条件下边界值求得，　　由零状态条件　　　初始条件。差分方程