第四章连续时间信号的采样

第四章连续时间信号的采样SamplingofContinuous-TimeSignals4.0引言离散时间信号实际存在或连续时间信号采样（常见）问题：连续时间信号离散时间信号的完全准确表示（包含全部信息）决定因素：采样率（samplingrate）,采样周期、采样频率方法：时域？频域！恢复（表明问题的方法）：离散时间信号（恢复）连续时间信号或称重构4.1周期采样（Periodicsampling）xc(t)----连续时间信号周期采样后得到样本序列：x[n]=xc(nT),－∞＜n＜∞T---采样周期，等间隔采样；fs=1/T---采样频率---Ωs=2π/T（弧度/秒）理想（C/D）转换器（ContinuoustoDiscrete）：实际实现：理想转换器的一种近似，A/D转换器，AnalogtoDigital（量化级数，线性度，采样保持）采样的可逆性：x[n]xc(t)------采样的条件（输入信号的限制）数学表示（两步）：冲击串调制器+冲击串到序列的转换器nnTtts)()(()()()scnxtxttnTxs(t)与x[n]区别连续，离散时间归一化冲击面积，有限数值4.2采样的频域表示数学上表示采样的两步：第一步：xc(t)xs(t)第二步：xs(t)x[n]首先考虑第一步，周期冲击串调制：由冲击函数的筛选性：nnTtts)()(ncsnTtnTxtx)()()(nccsnTttxtstxtx)()()()()(xs(t)的傅立叶变换根据傅立叶变换的性质：时域相乘频域卷积先求S(jΩ)，由傅里叶变换特性s(t)周期冲击串S(jΩ)周期冲击串即：kskΩΩTΩS)(2)j()j()j(21)j(ΩSΩXΩXcs2sΩT证明：因为s(t)为周期函数，用傅立叶级数可表示为：由于t的区间：-1/T~1/TkskΩΩTΩS)(2)j(ktjkkseats)(TTntjkTTtjkktnTtTttsTass1111de)(1de)(1TttTaTTtjkks1de)(111ktjksTtse1)(Xc(jΩ)与Xs(jΩ)的关系周期重复叠加)jj(1)j(skcsΩkΩXTΩX)jj(1d)()j(221)j(d)(2)j(21)j(d))(j()j(21)j()j(21)j(skcsckskscsccskXTkXTXkTXXSXΩSΩXΩXXs(jΩ)重复部分不重叠的条件：Ωs-ΩNΩN或：Ωs2ΩN结果：低通滤波器恢复出Xc(jΩ)xc(t)混叠aliasingXr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ)，若ΩNΩc(Ωs-ΩN)，有Xr(jΩ)=Xc(jΩ)例子：xc(t)=cosΩ0txc(t)=cosΩ0txc(t)=cos(Ωs-Ω0)tΩN----NyquistFrequency2ΩN----NyquistRate采样频率必须大于NyquistRate第二步：xs(t)x[n]也就是Xs(jΩ)，Xc(jΩ)X(ejω)x[n]考虑Xs(jΩ)的另一种表示形式ncsnTtnTxtx)()()(对其做傅立叶变换：由于nTncsnTnctcnstncsnTxΩXnTxtnTtnTxΩXtnTtnTxΩXj-j-j-j-e)()j(e)(de)()()j(de)()()j()e()e()j(e][)e()(][jjj-jTTsnncXXXnxXnTxnx比较有：最终可得：)2jj(1)e()jj(1)e(jjTkTXTXkXTXkcskcT或等效为：从Xs(jΩ)X(ejω)表示频率尺度变换：ω=ΩT频率轴归一化Xs(jΩ)----Ω=ΩsX(ejω)----ω=2π频率轴归一化对应于时间轴的采样周期T的归一化。x[n]的间隔为1例：一个正弦信号的采样与重建T=1/6000有其中ω0=4000πT=2π/3,Ωs=2π/T=12000πxc(t)=cos(4000πt)x[n]=xc(nT)=cos(4000πTn)=cos(ω0n)信号的最高频率ΩN=4000π，满足Nyquiest定理，没有混叠。其傅立叶变换为：在Ωs=12000π时)jj(1)j(skcsΩkΩXTΩX)π4000(π)π4000(π)j(ΩXc4.3由样本重构带限信号由x[n](恢复)xc(t)见图4.4Xc(jΩ)=Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ)Xs(jΩ)=X(ejΩT),X(ejω)xc(t)=xr(t)=hr(t)＊xs(t)xs(t)=x[n]有前知，()()()()[]()[]()scncsnxtxnTtnTxnTxnxtxntnT()()()()()()[]()[]()()()[]()()rrsrskrknrnkrrcnxthtxthkxtkhkxntknTxnhktknTxtxnhtnTxt理想重构滤波器增益为T（补偿作用）截止频率为Ωc，取Ωc=Ωs/2=π/TTtTtthr/π/πsin)(sin[π()/]()[]()π()/rcntnTTxtxnxttnTT理想离散到连续时间转换器（D/C）频域输入输出关系jjjj()jjj()[][](j)()ed[]()ed(j)[]()ed[]()ed(j)[]e()ed[]errnttrrrntnTrrrnnnTrrnxtxnhtnTXxttxnhtnTtXxnhtnTtxnhXxnhxn其傅立叶变换：j(j)(j)(j)(e)nTrnTrrHXHX4.4连续时间信号的离散时间处理过程的数学表示：C/D转换器：x[n]=xc(nT)傅立叶变换的关系：D/C转换器输出：kcTkjTXTX)π2j(1)e(jnrTnTtTnTtnyty/)(π]/)(πsin[][)(jj(j)(j)(e)(e),π0,TrrTYHYTYT其它4.4.1线性时不变离散时间系统如果上图连续时间系统中的离散时间系统是线性和时不变的，有Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)H(ejω)----系统的频率响应（单位脉冲响应的傅立叶变换）X(ejω)，Y(ejω)------输入输出的傅立叶变换考虑D/C转换器的滤波器Hr(jΩ):Yr(jΩ)=Hr(jΩ)H(ejΩT)X(ejΩT)再考虑C/D转换器的傅立叶变换的关系，并用ω=ΩT得到连续系统输入、输出的频域关系：j12π(j)(j)(e)jTrrckkYHHXjTT如果输入是带限的，经过D/C理想低通重构滤波器，连续时间系统的输入输出频域关系：或写为：式中Heff(jΩ)为有效频率响应（effectivefrequencyresponse）表示：连续时间系统（等效）线性时不变系统j(e)(j),π/(j)0.π/TcrHXTYTjeffjeff(j)(e)(j).(e),π/(j)0.π/TrcTYHXHTYT4.4.2脉冲响应不变（Impulseinvariance）已知连续时间系统（实现）离散时间系统也就是：Hc(jΩ)H(ejω)本节讨论：hc(t)h[n]关系实现的频域表示：实现的时域关系：由连续时间信号的采样，用h[n],hc(t)代替x[n],xc(t)考虑幅度因子T,脉冲响应不变j(e)(j/),π(j)0.π/ccHHTHTjjj[](),12π(e)j1(e)(j),π[](),(e)j,πcckccchnhnTkHHTTTHHTThnThnTHHT例：连续理想低通滤波器（冲击响应不变）离散理想低通滤波器Ωc=ωc/Tπ/Tωcπ也就是用得到H(ejω)与Hc(jω/T)的特性相同j1,(j)0,sin()()πsin()sin()[]()ππ1,(e)0,πccccccccccHthttnTnhnThnTTnTnH例：脉冲响应不变法用于具有有理系统函数形式的连续时间系统连续时间系统的传递函数：其单位冲击响应：用于冲击响应不变法：得到离散系统的z变换和频率响应：是Hc(jΩ)的混叠结果，除非Hc(jΩ)是带限的。作为数字滤波器的一种设计方法。0()cAHsss0()e()stchtAut0[]()e()sTnchnThnTAun001jj()1(e)1eesTsTATHzezATH4.5离散时间信号的连续时间处理4.6利用离散时间处理改变采样率改变x[n]=xc(nT)的采样率TT’x’[n]=xc(nT’)一种方法：x[n]（恢复，重构）xc(t)（周期采样，T’）x’[n]非理想模拟重构滤波器、A/D、D/A考虑直接用离散时间的算法，即直接对x[n]4.6.1采样率按整数因子减小xd[n]=x[nM]=xc(nMT)采样率压缩器（samplingratecompressor）如果Xc(jΩ)=0,|Ω|ΩN并且π/T’=π/(MT)≥ΩNxd[n]xc(t)减采样（downsampling）减采样前后的傅立叶变换之间关系x[n]=xc(nT)的傅里叶变换xd[n]=x[nM]=xc(nT’)=xc(nMT)的傅里叶变换即将求和指数r表示为:r=i+kM，i和k均为整数若－∞k∞和0≤i≤M-1－∞r∞j12π(e)jdckkXXTTTj'''12π(e)jdcrrXXTTTj12π(e)jdcrrXXMTMTMT上式可写为：方括号项：减采样前后的傅立叶变换关系：Xd(ejω)的两个解释：（1）与Xc(jΩ)的关系：ω=ΩT’，2π/T’周期重复（叠加）（2）与X(ejω)的关系：频率M倍扩展，2π/M整数倍移位，M个周期叠加1j0112π2π(e)jMdcikkiXXMTMTTMTj(2π)/12π2π(e)jiMckikXXTMTT1jj(/2π/01(e)(e)MMiMdiXXMXd(ejω)的性质：周期性，周期为2π若X(ejω)带限，即和2π/M≥2ωN，不产生混叠j(e)0.πNXM因子减采样时不产生混叠的条件：ωNMπ或ωNπ/M如果不能满足上面的条件，则可以在减采样前减小信号x[n]的带宽。但减采样后的序列已不再代表原来的连续时间信号，尽管在减采样过程中没有产生混叠。4.6.2采样率按整数因子增加x[n]的采样率增加L倍，xi[n]为：xi[n]=xc(nT’)其中的采样率T’=T/L关心xi[n]x[n]增采样（upsampling）采样扩展器（samplingra