数学-第-讲《数字谜中的最值》讲义

五年级数学星队秋季第十一讲数字谜中的最值例1下式中的a，b，c，d分别代表0～9中的一个数码，并且满足2()cdab，被减数最小是多少？3abcd【答案】42【分析】如果不发生借位，则由竖式知ca，3db，()5cdab不满足2()cdab，所以一定借位了，由竖式知1ca，103bd，即7db，()6cdab又有2()cdab，得12cd．差最小为39，所以被减数最小42．练一练下式中的a，b，c，d分别代表0～9中的一个数码，并且满足2()abcd，被加数最大是多少？5abcd【答案】35【分析】如果不发生进位，则ca，5db，()5cdab，不可能还有2()abcd，所以一定进位了，1ca，5105dbb，()4cdab，又有2()abcd，所以4cd，和最大为40，被加数最大为35．例2右边竖式中，相同的字母代表相同的数字，所有符合这样条件的四位数中减数最大的是多少？7902DCBAABCD【答案】1989【分析】用A、B、C、D分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首位来看A只能是1或2，D是8或9；从末位来看，102AD，得8DA，所以只能是1A，9D．被减数的十位数B，要被个位借去1，就有1BC．B最大能取9，此时C为8，因此，符合条件的原数中，最大的是1989．例3将数字1~9填入下图竖式的9个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最小值为多少？20+13□□□□□□□□□【答案】3135【分析】四个数的所有数字之和为129201351，除以9余6，所以和除以9余3，最小为3126，然而此时加数的四位数要求首位必须是2，无法构造，逐步调整为3135；构造4290621873135，所以最小值3135.例4在“□”内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是多少？640□□□□□□□□□□□□□□□□□【答案】93744【分析】由于被乘数乘以6得到的数的个位数字为4，所以被乘数的个位数字为4或9，如果为9，那么被乘数乘以乘数的十位数字得到的数的个位数字不可能为0，与题意不符，所以被乘数的个位数字为4，且乘数的十位数字为5，所以乘数为56．由于被乘数乘以6得到的五位数至少为10004，而10004616672，所以被乘数大于1667，而被乘数的个位数字为4，所以被乘数至少为1674，乘积最小为16745693744练一练如图竖式中，乘积最大可以是多少？最小可以是多少？321□□□□□□□□□□□□□【答案】2941，2431【分析】最大值：首先可得到：1317111321□□□□□□注意到乘积不能超过3000，3000171768，所以最大只能是173和17相乘，积是2941.最小值：第一个部分积最小是14371001，故乘积最小是143172431例5如下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量的小．那么，商的最小值是．20070□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□【答案】3401【分析】首先商的十位是0.商要小则除数尽量大，那么商的末位就是1，除数是700多，为凑出百位是2的积最小要乘以3，凑出百位是0或9最小要乘以4，所以商最小为3401.例6满足式子74abcddabc的四位数abcd最大是多少？最小是多少？【答案】4848，1212【分析】两数都要尽量大，d是偶数，最大是8，此时a必须是4（如果是5则式子结果在35000以上，3500048750，dabc做不到），把这个横式当两个结果相同的竖式来看：48847466bcbc　　　所以从右边竖式得出c是4或9，而由于结果肯定是4的倍数，说明abcd是4的倍数，则c是4，然后可由两式结果相等得出b是8：48488484743393633936　　　两数都要尽量小，d是偶数，最小是2，此时a必须是1，把这个横式当两个结果相同的竖式来看：12217444bcbc　　　所以从右边竖式得出c是1或6，而由于结果肯定是4的倍数，说明abcd是4的倍数，则c是1，然后可由两式结果相等得出b是2：121221217484848484　　　例7满足式子45abcbadeed的五位数abcba最大是多少？最小是多少？【答案】59895【分析】根据题意，45abcbadeed，则abcba为45的倍数，所以a应为0或5，又a还在首位，所以a=5，现在要让abcba尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令9b,为了满足abcba是9的倍数，8c，59895451331符合条件.最小值：若以数论方法分析，最小值并不易求.但是我们已经得到了最大的商是1331，那么最小值得到的商只可能是1001、1111、1221中的一个，枚举可知只有45122154945是最小值.同时也会发现此题只有2个答案.练一练1991乘自然数m的结果的末四位为8888，求m的最小值.【答案】8568【分析】先定个位，然后逐步定，计算时注意不需要计算万位及以上，减少计算量：199185928888819916859289468888199156859289465588881991856859289465588888例8将1～9这9个数字分别填入下式的各个方框内，则下式的计算结果最大可能是.()□□□□□□□□□【答案】6427【分析】称此式为()abcdefghi，则为了结果最大，必然bc，ef，1ghi（i没有任何加权，故i必为1）；分析def可知de；d的加权（efa）大于b的加权（10a），故db因1d，故eb，fc；即使把最小的1、2、3、4、5分配给b、c、d、e、f，bcdef也能组合成31542241100，故知ag；（将a、d的值互换，比较两式之差这个方法）分析a、d可知ad，可见a的优先度大于所有其他各数，故9a；9()1bcdefghd的加权为9100ef，故dg，可见d的优先度大于其它各数，8d；9(8)1bcefgh此时e的加权为720，远超g的加权（100），故7e；9(87)1bcfghb、c、f、g、h的加权分别为90、9、72、100、10，故知6g，5b，4f，3h，2c；9(52874)6316427