管理定量分析第7章时间序列分析

第7章时间序列分析引例•某一城市从2003年到2013年中，每年参加体育锻炼的人口数，排列起来，共有10个数据构成一个时间序列。人们希望用某个数学模型，根据这10个历史数据，来预测2014年或以后若干年中每年的体育锻炼人数是多少，以便于该城市制订一个有关体育健身的发展战略。年份参加锻炼人数（万人）20041500200518502006123020071639200816002009199320101995201120302012201120132050•对一些与管理有关的变量的未来状态进行估计被称为预测(forcasting)。•依据数据进行预测的主要技术是时间序列分析(timeseriesanalysis)。•本章将介绍几种时间序列分析技术：•首先，介绍时间序列分析的一般原则；其次，介绍简单的时间序列线性回归模型；其后，介绍一种更为常见的对数回归模型；再次，介绍这些模型的预测能力；最后，讨论二元时间序列模型。7.1时间序列简介•时间序列分析(Timeseriesanalysis)是一种动态数据处理的统计方法。•时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法进行处理。•时间序列分析法作为一种常用的预测手段被广泛应用。在二次大战中和战后，在军事科学、空间科学、气象预报和工业自动化等部门的应用更加广泛。•当前，时间序列分析常用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。7.2时间序列分析方法•时间序列分析有六个基本步骤。•第一；绘制数据的散点图。•第二，检验散点图并确定是否存在短期波动。•第三，如果数据表明有短期波动，确定短期波动的长度并剔除这个趋势。•第四，确定时间与分析变量之间是否存在某种关系。•第五，利用线性回归来估计时间与分析变量之间的关系。•第六，根据回归方程进行预测。7.2.1没有波动的预测•望山市人力资源与社会保障局需要预测今后5年每年大致的公务员人数。首席人力资源分析师王女士所掌握的惟一的信息是该市2000年以来的公务员人数。数据见表年份望山市公共部门工作人员数（千人）200035.7200138.8200240.9200343.4200444.9200547.2200648.8200750.8200850.8200950.7201055.0201155.3201258.6201359.9步骤l时间序列分析的第一步是绘制数据的散点图。就业应被视为因变量，年份应被视为自变量。见图7—3。•步骤2检验数据散点图，确定是否存在短期波动。数据表明没有明显的短期波动，因此跳至步骤4。•步骤3如果数据表明存在周期趋势，如缺勤数量显示的那样，就有必要确定短期趋势的长度。利用这个长度(L)，构造一个L项移动平均模型。•步骤4确定变量间是否有关。根据图7—3，可以识别出时间与望山市公务员人数之间存在一个正的线性关系。步骤5利用线性回归估计时间与分析变量之间的关系。为此，把第一年(2000)记为l，第二年记为2，依此类推。重新计数之后，得到如下数据集：XY135.7238.8340.9443.4544.9647.2748.8850.8950.81050.71155.01255.31358.61459.9ˆY=35.69+1.73Xbs=0.07yxS=1.112r=0.98X=7.5xs=4.2步骤6利用回归方程，对今后5年的就业进行预测。由于2000年相当于X的值等于l4，因此2014年，即预测的第一年，其X值等于15。把15代入回归方程，得到ˆY=35.69+1.73×15=35.69+25.95=61.64•我们对望山市2014年就业的最好的估计是61640人。根据估计的标准误差，到均值的距离的修正项，以及自由度为12、置信度为90％的t值，我们可以得到这个估计值的90％置信限：61.64±1.78×yxS×202()11(1)xXXnns61.64±1.78×1.11×221(157.5)114(141)(4.2)望山市就业的90％置信限为59370人--63910人。对望山市2015年、2016年、2017年和2018年的就业的预测如下：年份XbˆbXaY201516×1.7327.68+35.69=63.37201617×1.7329.41+35.69=65.10201718×1.7331.14+35.69=66.83201819×1.7332.87+35.69=68.567.2.2一种指数趋势的预测•案例：•望山市财政局的首席预算员李先生需要对本市下一年度的收入进行预测。他想测算未来5年的收入减去支出之后的盈余能否足够建设一个预算100万元的公共游乐场。•望山市2013年的支出预算是2100万元，估计今后5年每年的支出将以7％的速度增长，在过去的收入趋势今后仍将继续的假定下，望山市今后5年能够积累起100万元的超额收入吗？•(2013年节余的收入不能作为100万元的一部分。)收入数据见表7—2。表7—3望山市财政收入数据年份收入（万元）2000678200167920027432003837200494920059822006108120071205200813172009141620101479201116372012196820132138表7—4计划支出年份支出（万元）20132100（实际数字）2014224720152404201625732017275320182945根据表7-3绘制的散点图见图7—4。通过散点图可以发现，图中没有明显的短期波动，因此李先生假定不存在短期波动。利用线性回归，李先生估计了线性方程。为此，他把2000年转换为1，其后的年份依此类推(2013为第14年)。他估计了如下的回归线：ˆY=412+108.1X7.29bs|110yxs20.95r利用回归方程，李先生预测了2014-2018年的收入：年份XbˆbXaY201415×108.11621.5+412=2033.5201516×108.11729.6+412=2141.6201617×108.11837.7+412=2249.7201718×108.11945.8+412=2357.8201819×108.12053.9+412=2465.9表7—5收入与支出比较表预测收入支出赤字2033.522472142141.624042622249.725733232357.827533952465.92945479表7—6把收入转换为对数年份，X收入（千元）对数（收入），Y16782.83126792.83237432.87148372.92359492.97769822.992710813.033812053.081913173.1211014163.1521114793.1701216373.2151319683.2941421383.330对表7—6中的X和Y进行回归。李先生得到如下结果：ˆY=2.767+0.0389Xbs=0.0011yxS=0.00162r=0.99•如果把回归斜率转换为反对数(在本例中，0.0389的反对数为1.094)，再将反对数减去l，结果就是Y每年增长的百分比。•1.094-1.0=0.094或9.4％•望山市收入年增长率为9.4％。要用对数回归模型预测市收入，先按照一般的程序求得收入的对数预测值。年份XbˆbXaY201415×0.03890.584+2.767=3.351201516×0.03890.622+2.767=3.389201617×0.03890.661+2.767=3.428201718×0.03890.700+2.767=3.467201819×0.03890.739+2.767=3.506表7—7把ˆY转换为收入年份ˆY预测收入20143.351224120153.389245120163.428268120173.467293220183.5063207表7—8新回归方程下的收入与支出对比表年份收入支出盈余201422412247-6201524512404472016268125731082017293227531792018320729452627.2.3一种有短期波动的预测•某局机关的缺勤率一直比较高，而且呈一定的规律出现，为了降低缺勤率，该局提出了新的考勤办法。下图显示了新的考勤办法公布之后的6周内工作人员的缺勤数量。请根据数据分析该考勤办法有没有效果。周天天数缺勤数量（Y）和5项移动平均数波动1星期一125星期二215星期三3119118.2-7.2星期四4129218.4-6.4星期五5289719.48.62星期一6269819.66.4星期二72010320.6-0.6星期三8129919.8-7.8星期四9139919.8-6.8星期五103210020.012.03星期一112210020.02.0星期二12219719.41.6星期三13129318.6-6.6星期四14108817.6-7.6星期五15288216.411.64星期一16178016.01.0星期二17157815.6-0.6星期三18107314.6-4.6星期四1986813.6-5.6星期五20236412.810.25星期一21126112.2-0.2星期二22115811.6-0.6星期三2375010.0-3.0星期四245469.2-4.2星期五2515489.65.46星期一2611479.41.6星期二2710479.40.6星期三286469.2-3.2星期四295星期五3014ˆY=23.35-0.512Xbs=0.0396yxS=1.5132r=0.877.2.4二元预测•在前面的例子中，自变量都是时间。•其实，在一些预测中，自变量可以不是时间，这样的预测称为二元预测。案例•未央区是一个位于长安市北部的一个区。张先生是未央污水处理厂的经理，他希望对今后5年中工厂每天需要处理的污水量进行预测。•未央污水处理厂的处理能力为每天处理500吨污水。目前，厂里每天处理375吨污水。扩建工厂需要4年时间(筹措资金，政府授权，建造和测试)。•为此，张先生需要预测未来对污水处理厂的需求量。如果今后5年中，每天需求超过500吨，张先生现在就必须着手扩建工厂。分析•因为未央区是一个没有工业且商业设施也很少的近郊区，因此污水量主要与未央区的住户有关。•张先生发现通过把未央区现有房屋数量与颁发的新房建筑许可数量的90％(之所以用90％，是因为得到许可的新房中有10％尚未建好)合并起来，就可以准确地预测下一年的污水处理需求量。•张先生搜集的数据见表7—9。表7—9未央区污水排放及房屋建设数据年份每天的污水吨数房屋数新房建筑许可数下一年预计房屋数200011003001370200115813701501505200218815005702013200319220006002540200423025105112970200523430007543679200625237003103979200728540506804662200829346203184906200931548858155619201033555005105959201135360406036582201235865805907111201337571504757578表7—10污水处理量与预计房屋总数每天的污水吨数（Y）预测房屋数（X）1581370188150519220132302540234297025236792853979293466231549063355619353595935865823757111ˆ125.20.0367YX2|0.001610.50.984069byxsSrX1923xs预测把2014年的预测房屋数(7578)代入X，张先生得到2014年的预测污