2018上海中学自主招生数学真题及答案

2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x311x2x4【答案】(x1)(3x4)(2x1)【解析】试根法易得x1时，上式值为0.利用长除法可得原式=(x1)(6x25x4)=(x1)(3x4)(2x1)2、设ab0，a2b24ab，则ab=ab【答案】3【解析】令abx，aby则xy0a2b24aba2b22ab2aby21(x2y2)2x23y2x=3即ab=3yab3、若x2x10，则x32x23【答案】4【解析】降次法x21x所以原式=x1x21x3=xx222x3=x1x5=4(,34、已知1bc2abca，且a0，则bc4a【答案】2【解析】1bc2abca4cb24abcacaab24caabcaab20所以caabbc2a即bc2a5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】49【解析】P2243396,、直线l：y3x与x、y轴交于点A、B，△AOB关于直线AB对称得到△ACB，则点C的坐标是【答案】33)22【解析】如右图所示易得CADBAO60过C作CDx轴于点D在△ACD中AC1易解得AD1，CD3223C(,)223即7、一张矩形纸片ABCD，AD9，AB12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕的长是【答案】454【解析】如右图所示易得AC所以OC15215△C△OF∽ABC所以OFOC解得OF45即EF45ABBC848、任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n），如果n是奇2数，则将它乘以3再加1（即3n1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n（首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n所有可能取值为【答案】128/2/16/20/3/21【解析】92122124181245108163264216320211289、正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，联结AC、CE、EA、BD、DF、FB，求阴影部分小正六边形的面积【答案】2【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：小正六边形的面积是大正六边形面积的13即面积为210、已知y12x24mx4m与ymx在x取任意实数时，至少有一个是正数，则m的取值范围为【答案】m4【解析】（1）当0m时，0x，y2mx0，且x≤0时，y2≤0x≤0时y10y1x00故4m0m404则0解得4m40m4（2）当m0时，同理解得m0（3）当m0时，y10恒成立综上所述，m411、已知a、b、c是互不相等的实数，x是任意实数，xa2xb2xc2化简：abaccbabcacb【答案】1xa2bcxb2caxc2ab=abbcca【解析】原式abbccaabbcca1212、已知实数a、b满足a2abb21，taba2b2，1则t的取值范围是【答案】3≤t≤13【解析】由a2b2≥2ab，a2b2≥2ab得1ab≥2ab解得1≤ab≤1ab≥2ab3tab1ab2ab1所以3≤t≤-1313、（1）求边长是1的正五边形的对角线长（2）求sin18【答案】（1）51（2）5122【解析】（1）正五边形的一个内角大小为：521805=108所以△ABE和△ACD是黄金三角形在△ABE中AEBE51其中AE1解得BE2512（2）在△ACD中过A作AF垂直CD于点F易得FAD181所以sin18FD2=51AD5122xy114、（1）fxx3ax2bxc，0f1f2f33，求c的取值范围（2）fxx4ax3bx2cxd，f110，f220，f330，求f10f6【答案】（1）6c≤9（2）8104【解析】（1）令f1f2f3k，gxfxk，0k≤3则gxx1x2x3所以fxgxkx36x211x6k故c6k，又0k3所以6c≤9（2）f110，f220，f330令gxfx10x=x4ax3bx2c10xd则有g1g2g30令gx0的第四个根是m则gxx1x2x3xm所以g10+g698710m7896m8064即f10f6=g10g640810415、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）背景知识：平面：AxByCzd0；球：xa2yb2zc2R2；点(a,b,c)到平面的距离公式：d球心到平面的距离为d，当dR时，球与平面相交，当dR时，球与平面相切，当dR时，球与平面相离；问题（1）：若实数m、n、k满足mnk1，求m2n2k2的最小值；问题（2）：解方程1xyz2x1【答案】（1）1（2）y23z3【解析】（1）设点(m,n,k)则该点在平面xyz1上而所求m2n2k2即为该点到原点距离的平方AaBbCcDA2B2C2z2121212y1z2xy1x原点到平面xyz1的距离为：d133321所以m2n2k2（2）配方法min331xyz2xyz222z2012x112x1120y11解得y2z3z21xy1z2则