搜索
一、基本概念①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．二、基本公式：①长方形的周长2(长宽)，面积长宽．②正方形的周长4边长，正方形的面积边长边长．三、常用方法：（1）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．（2）转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．（3）寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．（4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段．四、几个重要的解题思想（1）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的知识点拨4-2-2.巧求周长新图形，它的面积不变．（3）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．（5）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．模块一、图形的周长和面积——割补法【例1】求图中所有线段的总长(单位：厘米)EDCBA2134【例2】如图所示，点B是线段AD的中点，由A、B、C、D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是。ABCD【例3】三只猴子走得一样快，所走的路线如下图。哪只猴子先吃到桃子，就在它旁边的()里画勾。B()C()A()例题精讲【例4】在一个长方形的面积为169平方厘米。在这个长方形内任取一点P，则点P到长方形四边的距离之和最小值为_______厘米。【例5】边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？【巩固】用一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正方形的周长是多少分米？48【例6】用7个长4厘米，宽3厘米的长方形拼成一个大长方形，在所有可能的拼法中，大长方形周长的最小值是厘米。【巩固】用6张边长为2厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是________厘米．【巩固】用6张边长为3厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是_______厘米。【例7】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【巩固】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【例8】将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形．请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？【巩固】把一个边长为a的正方形分成两个完全相同的长方形，则这两个长方形的周长的和是。【巩固】如图，两个长方形拼成了一个正方形。如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少6厘米，则正方形面积是________平方厘米。【巩固】两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？【例9】长方形ABCD长为l0厘米，宽为4厘米．E是BC中点，四边形ADCE的周长比三角形ABE的周长多（）厘米．EDCBA【例10】（第六届走美四年级初赛第15题）E是正方形ABCD的边CD上的三等分点(如图)，BE把正方形分成一个梯形和一个三角形．梯形的周长比三角形的周长大8厘米．正方形ABCD的面积是．EDCBA【例11】如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求：图中所有长方形的周长之和．21342【例12】如图，从长方形纸片ABCD上剪去正方形ADFE，剩下的长方形EFCB的周长是100厘米，则AB的长是厘米。FEDCBA【例13】如图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是厘米。DCBA【巩固】如图，正方形的边长为4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形的所有周长之和．【巩固】有一个长方形纸片，长比宽多2厘米，周长是36厘米，用剪刀剪3下（如图），这6个长方形的周长之和是。【例14】如图，一个正方形被分割成24个互不重叠的小长方形，这24个小长方形的周长总和为24，原正方形的面积是。【例15】如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部分的周长之和是_____________厘米．3厘米4厘米【例16】将若干个边长为1的正六边形(即单位六边形)拼接起来，得到一个拼接图形，如图：周长=14周长=12周长=10周长=6那么，要拼接成周长等于18的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形．模块二、图形的周长和面积——平移【例17】一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是6厘米的正方形，剩下的图形的周长是______（写出所有可能的结果）【巩固】如图3所示，这是三个边长为10厘米的正方形纸片。从（1）和（2）中各剪去一个面积是4平方厘米的小正方形，从（3）中剪去一个面积是4平方厘米的长方形。比较（1），（2），（3），剩下部分周长最小的是_________（填图形编号），它的周长是_________厘米。（1）（2）41（3）【例18】一个长为12厘米，宽为10厘米的长方形，挖去一个边长为4厘米的正方形补在另一边上（如图）。所得图形的周长为厘米。【巩固】一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是6厘米的正方形，剩下的图形的周长是．(写出所有可能的结果)【例19】下边这个图形的周长等于_________厘米。单位：厘米203060【巩固】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米？65133156【巩固】求右图所示图形的周长(单位：分米)501050【巩固】如下图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？1dcbaabcd1【例20】下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角．已知西边篱笆长17米，南边篱笆长23米．四周篱笆长多少米？东北23南西17CDBA2317南西东北【巩固】右图的周长是分米．6分米7分米【巩固】计算右边图形的周长(单位：厘米)。1510【巩固】下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周长．【例21】将边长为10厘米的五张正方形纸片如图那样放置，每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的正方形，它的边长是原正方形边长的一半，则图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为___________厘米。【例22】下图是一面砖墙的平面图，每块砖长20厘米，高8厘米，像图中那样一层、二层…一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？【巩固】“走美商场”开业了！每口如图有规律地放了一些同样的礼品盒供顾客免费领取。每一礼品盒宽9厘米，长18厘米（取“永久发达”的吉祥寓意）。摆好后其上面四层的正面图如下图所示，共摆十层，则一共有个礼品盒，整个图形周长为厘米。【例23】下图由25个边长为3厘米的小正方形拼成，它的周长为厘米。【例24】如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是52个平方单位，试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位？【例25】把长2厘米、宽1厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长？【例26】两只小蚂蚁同时从图中的A点出发开始爬向B点，红蚂蚁沿图中的实线爬行，黑蚂蚁沿图中虚线爬行，如果两只蚂蚁的爬行速度相同，则最先到达B点的是．BA【巩固】如下图，正方形操场边长100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的路长？它们各走了多少米？乙甲30米50米100米【例27】求下图的周长．35厘米50厘米10厘米35厘米50厘米DCBA【巩固】求右图的周长．10103020【巩固】右图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求这个图形的周长？35【例28】下图的小正方形边长为1厘米．这个图形的外沿的周长是多少厘米？【例29】(第七届”小机灵杯”数学竞赛初赛)下面两张图中，周长较大的是．(在横线上填写表示图名的字母)141014BA【例30】如图是一个机器零件的侧面图，图中每一条最短线段长5厘米，这个零件高30厘米，求这个零件侧面的周长是多少厘米？30厘米30厘米【例31】图中是由周长都是20厘米的小正方形组成的，它的周长是多少厘米？【巩固】下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形．试求出其周长．【例32】右图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是多少厘米？【例33】图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是22厘米，那么图⑵的周长是多少厘米？（1）（2）【例34】图中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【例35】如图，每个小格的边长都是1个单位长度，一只甲虫在水平方向上每爬行1个单位长度需要5秒，在竖直方向上每爬行1个单位长度需要6秒，每拐弯一次需要1秒。它从A点爬到B点，最少需要秒。BA【例36】右图中的每个拐弯处的角都是直角，且它的八条边的边长分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。这个图形的面积最大是_____________平方厘米；最小是__________平方厘米．HGFEDCBA【例37】如图，一个长方形被分成A、B、C三块，其中B和C都是长方形，A的八条边的边长分别是l、2、3、4、5、6、7、8厘米。那么B和C的面积和最多是平方厘米。(示意图不成比例)CBA模块三、整体看问题【例38】下图中的阴影部分BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米，则长方形ADHE的周长是厘米．HGFEDCBA【巩固】如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形．已知10cmAF，7cmHC，求长方形ABCD的