奥数全年级一百七十九专题题库学生版436燕尾定理学生版

燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC．OFEDCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：1423:::SSSSBDDCS3S1S4S2EDCBA【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有14::SSBDDC；三角形ABE与三角形EBD同高，12::SSEDEA；三角形ACE与三角形CED同高，43::SSEDEA，所以1423::SSSS；综上可得1423:::SSSSBDDC.【例1】如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC，:4:3CEEA，求:AFFB．OFEDCBA例题精讲燕尾定理【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BDDC，:5:6AECE，求:AFFB.OFEDCBA【巩固】如图，:2:3BDDC,:5:3AECE,则:AFBFGFEDCBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3BDDC，:5:4EACE，求:AFFB.OFEDCBA【例2】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?35304084OFEDCBA【例3】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBA33321FEDCBAABCDEFFEDCBA【巩固】如图，已知BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.DEFCBADEFCBADEFCBA【巩固】如图，三角形ABC的面积是2200cm，E在AC上，点D在BC上，且:3:5AEEC,:2:3BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBAABCDEFFEDCBA【巩固】如图，已知3BDDC，2ECAE，BE与CD相交于点O,则ABC△被分成的4部分面积各占ABC△面积的几分之几？OEDCBA13.54.59211213OEDCBA【巩固】如图所示，在ABC△中，12CPCB，13CQCA，BQ与AP相交于点X，若ABC△的面积为6，则ABX△的面积等于．XQPABCXQPABC4411XQPCBA【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773FEDCBAx+3x773FEDCBA【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，2BDDC，2CEAE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDEF48621ABCDEF【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且:2:3AEEC,:1:2BDDC，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于222cm，则三角形ABC的面积．ABCDEFABCDEF2.41.62ABCDEF12【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知2AC，2CD，3CB，AMBM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少？ABCDMNABCDMN【例4】如图所示，在ABC△中，:3:1BEEC，D是AE的中点，那么:AFFC．FEDCBAFEDCBA【巩固】在ABC中，:3:2BDDC，:3:1AEEC，求:OBOE？ABCDEOABCDEO【巩固】在ABC中，:2:1BDDC，:1:3AEEC，求:OBOE？ABCDEO【例5】如图9，三角形BAC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F，则四边形DEFC的面积等于。AFBEDC【例6】如图1，ABC中，点E在AB上，点F在AC上，BF与CE相交于点P，如果4BEPCFPAEPFSSS四边形，则BPCS.PFECBA【例7】如图4，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE。则两块田地ACF和CFB的面积比是___________。FEDCBA【例8】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?xyyxABCDEFGGFEDCBA33GFEDCBA213【例9】如图所示，在四边形ABCD中，3ABBE，3ADAF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积为________．OFEDCBA684621OFEDCBA【例10】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．GFEDCBAGFEDCBA【例11】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是_____平方厘米．HGFEDCBAHGFEDCBA【例12】如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且13AEAB，14CFBC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则AEG与CGF的面积之和为．ABCDEFGHABCDEFGABCDEFG【例13】正六边形1A，2A，3A，4A，5A，6A的面积是2009平方厘米，1B，2B，3B，4B，5B，6B分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．A6B4B5B3B2B6B1A5A4A3A2A1GB3B2A6B4B5B6B1A5A4A3A2A1ED【例14】已知四边形ABCD，CHFG为正方形，:1:8SS乙甲，a与b是两个正方形的边长，求:?ab乙甲baGHOFEDCBA乙甲baNMGHOFEDCBA【例15】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．4321【例16】如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【巩固】如图，ABC中2BDDA，2CEEB，2AFFC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍．ADCFEBGIHADCFEB【巩固】如图在ABC△中，12DCEAFBDBECFA,求GHIABC△的面积△的面积的值．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【巩固】如图在ABC△中，13DCEAFBDBECFA,求GHIABC△的面积△的面积的值．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:::4:3AFFBBDDCCEAE，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI的面积．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【例17】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．FEDCBANMFEDCBA【例18】如右图，ABC△中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知ABM△的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC△的面积是多少平方厘米？NMGABCDEFNMGABCDEF【巩固】如图，ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．FABCDEMNFABCDEMN【例19】如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连接AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC的面积是________．（36）【例20】如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFEDCBANMQPGFEDCBA【巩固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？KJIHABCDEFGKJIHABCDEFG【例21】如右图，面积为1的ABC△中，::1:2:1BDDEEC，::1:2:1CFFGGA，::1:2:1AHHIIB，求阴影部分面积．IHGFEDCBAPNMABCDEFGHI【例22】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.IGHFEDCBAINMQPGHFEDCBA【例23】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.IGHFEDCBASRINMQPGHFEDCBA