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本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶模块一、奇偶分析法之计算法【例1】1231993……的和是奇数还是偶数？【例1】从1开始的前2005个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。例题精讲知识点拨教学目标5-1奇数与偶数的性质与应用【【巩巩固固】】2930318788……得数是奇数还是偶数？【【巩巩固固】】123456799100999897967654321的和是奇数还是偶数？为什么？【【巩巩固固】】(200201202288151152153233……）（……）得数是奇数还是偶数？【例2】12345679899的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【例3】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564，他做得对吗？【例4】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？【【巩巩固固】】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【例5】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27【例6】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【【巩巩固固】】能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【例7】一个偶数的数字和是40,这个偶数最小是。【例8】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：…………现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．【【巩巩固固】】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？【例9】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【例10】有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？【【巩巩固固】】一本故事书共有30个故事，每个故事分别占1、2、3、…、30页（未必按这个顺序）。第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故事是从奇数页开始的。【例11】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．【例12】三个相邻偶数的乘积是一个六位数82，求这三个偶数．【例13】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【例14】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？模块二、奇偶分析法之代数法【例15】已知a,b,c是三个连续自然数，其中a是偶数。根据下面的的信息：小红说：“那么1a,2b,3c这三个数的乘积一定是奇数”；小明：“不对1a,2b,3c这三个数的乘积是偶数”。判断小红和小明两人的说法中正确的是。【例16】试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．【例17】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【【巩巩固固】】是否存在自然数a和b，使得515015abab（）？【【巩巩固固】】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【例18】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？【例19】已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：(1)(2)(3)abc是一个偶数。【【巩巩固固】】小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：1991abcda1993abcdb1995abcdc1997abcdd但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明结论吗？【例20】设a,b,c,d,e,f,g都是整数，试说明：在,,,,,,abbccddeeffgga中，必有奇数个偶数．模块三、奇偶分析法之图论【例21】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。【【巩巩固固】】你能不能将整数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数?【例22】能否将1~16这16个自然数填入44的方格表中（每个小方格只填一个数），使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．【例23】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如538a．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多？a123456789987654321【【巩巩固固】】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：5315a．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多？【例24】在“88”的方格中放棋子，每格至多放1枚棋子．若要求8行、8列、30条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“88”的方格中最多可以放多少枚棋子？第11题【例25】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3(如图)．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?123132HGFEDCBA模块四、奇偶分析法之生活运用【例26】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了9次，则比赛的结果甲是第名．【例27】甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．【例28】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？【例29】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？【【巩巩固固】】元旦前夕，同学们相互送贺年卡．每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【例30】四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大7岁．问：⑴年龄最大的人是多少岁？⑵另外两人的岁数的奇偶性相同吗？【例31】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”那么请你证明：k为偶数．【例32】一个图书馆分东西两个阅览室．东阅览室里每张桌子上有2盏灯．西阅览室里每张桌子上有3盏灯．现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数．问：哪个阅览室的桌子数是奇数？【例33】四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分．请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数．【例34】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？【【巩巩固固】】商店一次进货6桶，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍。剩下的一桶重千克。【例35】李东到商店买练习本。每本3角，共买9本。服务员问：“你有零钱吗?”李东说：“我带的全是5角一张的”。服务员说：“真不巧，您没有2角一张的，我的零钱全是2角一张的，这怎么办?”你帮李东想一想，他至少应该给服务员________张5角币。模块五、奇偶分析法之简单操作找规律【例36】在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和减1，得（2，2，3），再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1，得（2，4，3），再把2抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过程，是否能得到（859，263，597）？【【巩巩固固】】有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？【【巩巩固固】】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，154．问：原来写的三个整数能否为1，3，5？【例37】数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，的排列规律是前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前2009个数中共有几个偶数？【【巩巩固固】】八十个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数是奇数还是偶数？【例38】黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得