奥数全年级一百七十九专题题库学生版752组合的基本应用二学生版

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作mnC．一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数nmP可分成以下两步：第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有mnC种方法；第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有mmP种排法．根据乘法原理，得到mmmnnmPCP．因此，组合数12)112321mmnnmmPnnnnmCPmmm（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：mnmnnCC(mn)这个公式的直观意义是：mnC表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法．nmnC表示从n个元素中取出(nm)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255CC．知识要点教学目标7-5-2.组合的基本应用（二）规定1nnC，01nC．模块一、组合之几何问题【例1】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题．由组合数公式：⑴可画出221010221094521PCP(条)直线段．⑵可画出331010331098120321PCP(个)三角形．⑶可画出44101044109872104321PCP(个)四边形．【答案】⑴21045C⑵310120C⑶410210C【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从10个元素中取出2个元素的组合数，由组合数公式，2101094521C，所以以10个点中每2个点为端点的线段共有45条．【答案】45【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7个点中选出3个点的选法，等于3776535321C(种)．【答案】3735C【例2】平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴可确定多少个三角形？⑵可确定多少条射线？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】⑴分三类：①有2个顶点在共线的6点中，另1个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C个；②有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C(个)；③3个顶点都在不共线的6点中的三角形有3665420321C个．根据加法原理，可确定909020200个三角形．⑵两点可以确定两条射线，分三类：①共线的6点，确定10条射线；例题精讲②不共线的6点，每两点确定两条射线，共有2665223021C(条)射线；③从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定66272(条)射线．根据加法原理，可以确定103072112(条)射线．【答案】⑴200⑵112【巩固】如图，问：⑴图1中，共有多少条线段？⑵图2中，共有多少个角？C5C4C3C2C1BA...P9P3P2P1BAO图1图2【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】⑴在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而27C表示从7个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有27C条线段．由组合数公式知，共有227722762121PCP(条)不同的线段；⑵从O点出发的射线一共有11条，它们是OA，1OP，2OP，3OP，，9OP，OB．注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显然，是组合问题，共有211C种不同的取法，所以，可组成211C个角．由组合数公式知，共有2211112211105521PCP(个)不同的角．【答案】⑴2721C⑵21155C模块二、组合之应用题【例3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题．由组合数公式知，26651521C(次)．所以一共握手15次．【答案】15【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】220201919021C(次)．【答案】220190C【例4】学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．由组合数公式知，3665420321C(种)．所以共有20种不同的选法．【答案】3620C【例5】有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出种不同的质量。【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第5题【解析】第一大类：砝码只放一边。共有1233333317CCC或者3217（种）；第二大类：两边都放砝码。再分类：两边各放一个，共有23C种；一边放两个一边放一个有13C或者23C种。所以这一大类共有1233336CC（种）。根据加法原理，共能称出7+6=13（种）不同的质量。【答案】13种【例6】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】（1）从10件产品中抽出3件，抽法总数为310C=120（种）（2）3件中恰好一件次品，那么还有两件正常品．抽法总数为12C×28C=56（种）（3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品”全都不是次品的抽法总数为38C=56（种）所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64（种）．【答案】（1）120（2）56（3）64【例7】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】第⑴题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件．第⑵题：与顺序无关；至少有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共5件．可用直接法解答，也可用间接法解答．第⑶题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1件是正品．⑴都不是次品，即全部为正品．共有抽法4195C种．⑵至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况．共有抽法31221341955195519555()CCCCCCC种（或44200195()CC种）．⑶不都是次品，即至少有1件正品．共有抽法1322314195519551955195()CCCCCCC种（或442005()CC种）．【答案】⑴4195C⑵44200195()CC⑶442005()CC【例8】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关．所以，应用组合数公式，共有342C种不同的选法．要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关．所以，应用排列数公式，共有342P种不同的站法．由组合数公式，共有3342423342414011480321PCP(种)不同的选法；由排列数公式，共有34242414068880P(种)不同的站法．【答案】34268880P【例9】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【关键词】希望杯，1试【解析】因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边．这样共有5个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从5个元素中取出3个，所以共有3554310123C种不同的放法．【答案】3510C【例10】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关系．所以排队方法总数为：222864281562520CCC（种）．【答案】2520【例11】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题．第一题中，4个小题中选做3个，有344324321C(种)选法；第二题中，3个小题中选做2个，有2332321C(种)选法；第三题中，2个小题中选做1个，有122121C(种)选法．根据乘法原理，一共有43224(种)不同的选法．【答案】24【例12】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组