奥数全年级一百七十九专题题库学生版774容斥原理之数论问题学生版

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABC．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2．再排除——ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去．7-7-4容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例1】在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？AB【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331可知，1~100中3的倍数有33个；由100520可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753(个)．【答案】53【巩固】在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】1003331，100520，10035610（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647(个)．【答案】47【巩固】在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250(个)．由1003331知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数．因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667(个)．【答案】67【例2】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?例题精讲图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．2．再排除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了．3．再包含：ABCABBCACABC．【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】1～1000之间，5的倍数有10005=200个，7的倍数有10007=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】记A：1～100中3的倍数，1003331，有33个；B：1～100中7的倍数，1007142，有14个；AB：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43【例3】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例4】在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315个，3和7的倍数有20089521个，5和7的倍数有20085735个，3、5和7的倍数有200819105个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228个．【答案】228个【例5】求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第12题【解析】被2整除的有50个，被3整除的有33个，被7整除的有14个同时被2和3整除的有16个，同时被2和7整除的有7个，同时被3和7整除的有4个同时被2和3和7整除的有2个，100503314167421007228个【答案】28个。【例6】在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【解析】ab表示取商的整数部分．例如，732．要注意的是，符号与、、、符号一样，也是一种运算，叫取整运算．本题中，先求出能被2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被2、3、7整除的数．故能被2整除的有：19982999(个)．能被2和3同时整除的有：[199823]333（）(个)．能被2和7同时整除的有：[199827]142（）．能被2、3、7同时整除的有：[1998237]47（）(个)．所以，能被2整除，但不能被3或7整除的数有99933314247571(个)．【答案】571个【例7】50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第13题【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．1～50之间，4的倍数有504=12,6的倍数有506=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有5012=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．【答案】38名【例8】体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第15题，4分【解析】可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同时是4和5的倍数的有3个，同时是5和6的倍数的有2个，同时是4和6的倍数的有5个，同时是4、5、6的倍数的数有1个，现在背向老师的有15+12+10-3-2-5+1=28个，面向老师的学生有60-28=32人。转过两次的有：3－1+2－1+5－1＝7。最后面向老师的学生数=32+7＝39个。【答案】39个【例9】有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？532GFEDCBA【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】解答【解析】三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数．1～2000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有133个，30的倍数有66个，亮着的灯一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盏．【答案】1002盏【巩固】2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，……，2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为（）盏。【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，第11题，六年级，第11题【解析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．这道题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中2个数整除的数的总个数．我们可以求得被2整除的数有200621003(盏)，被3整除的数有200636682，共668(盏)，被5整除的数有200654011，共401(盏)．其中，同时被2、3整除的数有200