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1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2nnn……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．EDCBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．教学目标例题精讲知识要点7-8-2.几何计数（二）模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220个正方形．⑴⑵⑶考点图形计数【答案】20个【巩固】如图，44的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．11的正方形：9个；22的正方形：4个；33的正方形：1个；以11正方形对角线为边长的正方形：4个；以12长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中面积为1的形状不同的三角形有种。【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第11题【解析】在本题中，三角形的面积是1，底和高只能一个是1，一个是2，可以有以下三种情况：【答案】【例2】一块木板上有13枚钉子（如左下图）。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。请回答：可以构成多少个正方形？【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第2题【解析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有5个、1个、4个、1个，共11个。【答案】11个【例3】在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图2和图3是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第10题，10分【解析】不同类型的涂法有3种，如下图AAAA说明：①所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格．同样，仅有一列涂有3个阴影方格．②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．【答案】3种【例4】在下面的图中，包含苹果的正方形一共有个．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，1年级，第4题【解析】包含1个基本正方形的带苹果正方形有1个，包含4个基本正方形的带苹果正方形有4个，包含9个基本正方形的带苹果正方形有6个，包含16个基本正方形的带苹果正方形有2个，所以共有146213(个)．考点图形的计数方法之——分类计数【答案】13个【巩固】图中，不含“A”的正方形有个。【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】面积为1的有15个，面积为4的有7个，面积为3的有2个，共24个.A【答案】24【巩固】图中，不含“A”的正方形有____________个。A【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第10题【解析】面积为1的有15个，面积为4的有5个，面积为9的没有，所以不含A的有20个.【答案】20个【例5】在下图中，不包含☆的长方形有________个．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【关键词】学而思杯，4年级，第4题【【解解析析】】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含☆的长方形有3×3×4×4=144(个)，所以不包含☆的长方形有22779162121916441144297CC(个)．【答案】297个【例6】如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形．根据乘法原理2×2×2×3=24（种）不同的长方形．【答案】24个【例7】图中含有“※”的长方形总共有________个．※※【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数．含有左上※号的长方形有：66618个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；含有右上※号的长方形有：662624个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：62个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有：448个，其中，宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4个；所以，含有※号的长方形总共有：1824834个．【答案】34个【例8】在图中，包含A的三角形一共有个。A【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第5题【解析】包含五角星的三角形中含一个基本三角形的有1个；含四个基本三角形的有4个；含9个基本三角形的有3个；含16个基本三角形的有1个。这样包含五角星的三角形一共有14319（个）。【答案】9【例9】右图中有个正方形，个三角形，包含★的三角形有个．★【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第7题【解析】正方形：正着的方块有4个小的，1个大的，斜的方块有4个小的，1个大的；以正方形共有10个。三角形：小号的三角形有16个，其中有1个包含★中号的三角形有16个，其中有2个包含★大号的三角形有8个，其中有3个包含★特大号的三角形有4个，其中有2个包含★所以三角形有44个，包含★的有8个【答案】正方形10个，三角形44个，包含★的有8个【例10】下图是5×5的方格纸，小方格为边长1厘米的正方形，图中共有_______个正方形，所有这些正方形的面积之和为_______。【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第14题【解析】图中面积为1、4、9、16、25平方厘米的正方形分别有25、16、9、4、1个，共有55个小正方形，所有小正方形的面积和为259.【答案】55个，面积和为259【例11】由20个边长为1的小正方形拼成一个45长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有个，它们的面积总和是．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，6年级，决赛，10题【解析】根据鼠标法，☆左上角共有6个点，右下角有8个点，所以共有长方形有6848（个）面积总和为:(12233445)(122334)360．【答案】长方形48个，面积和为360【例12】图中内部有阴影的正方形共有个。【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第10题【解析】面积为1的正方形有8个，面积为4的正方形有8个，面积为9的正方形有8个，面积为16的正方形有2个，共计26个.【答案】26个【例13】在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】解答【解析】①一共有(4321)(4321)100(个)长方形；②所求的和是51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)1448612384(平方厘米)．【答案】（1）100，（2）12384【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】解答【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）nm个，所以有43214321100（个），这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664（平方厘米）．【答案】长方形共有：100，面积和为10664【例14】如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“A”号的大、小正三角形一共有______个．A【考点】复杂的几何计数【难度】2星【题型】解答【解析】分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1416(个)．【答案】6个【例15】图中共有多少个三角形？CBA【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类（1）最大的三角形1个(即△ABC)，（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24