奥数全年级一百七十九专题题库教师版1221分数裂项教师版

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11abababababba（2）2222ababababababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例1】111111223344556。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【【解解析析】】原式111111115122356166提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779，计算过程就要变为：111111113355779192．【答案】56【【巩巩固固】】111......101111125960【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【【解解析析】】原式111111111()()......()101111125960106012【答案】112【【巩巩固固】】2222109985443【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【【解解析析】】原式111111112910894534112310715【答案】715【例2】111111212312100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122，112(12)212232，……，原式22221200992(1)1122334100101101101101例题精讲【答案】991101【例3】111113355799101【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【【解解析析】】111111111150(113355799101233599101101…）【答案】50101【【巩巩固固】】计算：1111251335572325【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，六年级【【解解析析】】原式1111112512335232511251225252422512【答案】12【【巩巩固固】】2512512512512514881212162000200420042008【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛【【解解析析】】原式25111111161223345005015015022511111111116223345015022515015012115165023232【答案】211532【【巩巩固固】】计算：3245671255771111161622222929【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】原式111111111111125577111116162222292912【答案】12【例4】计算：11111111()1288244880120168224288【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】101中学【【解解析析】】原式11111282446681618（）1111111128224461618（）1164218（）4289【答案】4289【【巩巩固固】】11111111612203042567290_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，初赛，六年级【【解解析析】】根据裂项性质进行拆分为：111111116122030425672901111111123344556677889910112==2105【答案】25【【巩巩固固】】11111113610152128【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】原式1111112123123412345672221233478111111122233478121874【答案】74【【巩巩固固】】计算：1111111112612203042567290＝【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】原式111111111()2233445566778899101111111()22334910111()2210110【答案】110【【巩巩固固】】11111104088154238。【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】原式111112558811111414171111111111132558811111414171115321734【答案】534【例5】计算：1111135357579200120032005【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试【解析】原式1111111413353557200120032003200511110040034132003200512048045【答案】100400312048045【例6】74.50.1611111813153563133.753.23【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】仁华学校【【解解析析】】原式791611111182901133557791331.2540.8371111111461123357913123463182442923=36【答案】2336【例7】计算：11111123420261220420【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】小数报，初赛【【解解析析】】原式1111112320261220420111112101223344520211111111210122334202112021012102121【答案】2021021【【巩巩固固】】计算：11111200820092010201120121854108180270=。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级，1试【【解解析析】】原式1111120082009201020112012366991212151518111111120105912235651005054【答案】51005054【【巩巩固固】】计算：1122426153577____。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级【解析】原式132537511726153577111111111223355771111011111【答案】1011【【巩巩固固】】计算：1111111315356399143195【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113，2154135，……，21951411315，所以原式11111111335577991111131315111111111213235213151112115715【答案】715【【巩巩固固】】计算：15111929970198992612203097029900．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】四中【【解解析析】】原式11111111261299001119912239910011111991223991001991100198100【答案】198100【例8】111123234789【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】首先分析出11111111211211nnnnnnnnnnnn原式111111111212232334677878891112128935144【答案】35144【【巩巩固固】】计算：1111232349899100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】原式11111111()21223233434989999100111149494949()212991002990019