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本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交：两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角．锐角比直角小，钝角比直角大．（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．边边顶点直角锐角钝角顶角顶角边边角角角顶角边知识点拨4-1-1.几何图形认知及简单计算（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角腰腰下底上底（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．圆心半径直径半圆直径弧半径半径高宽长底面底面底面底面（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．模块一、几何图形的认识【例1】请看下图，共有个圆圈。【考点】几何图形的认识【难度】1星【题型】填空【解析】此题中，各圆大小各异，不如按照从左到右的顺序来数．共有25个圆圈．【答案】25个【例2】下图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？【考点】几何图形的认识【难度】3星【题型】解答【解析】三角形有2个：4和7；长方形有2个：1和2(正方形也属于长方形)；平行四边形有4个：1、2、3、6(正方形、长方形、菱形也属于长方形)；菱形有2个：1和6(正方形也属于菱形)．【答案】三角形有2个：4和7；长方形有2个：1和2平行四边形有4个：1、2、3、6菱形有2个：1和6【例3】数一数，图中共有多少个角？半径球心例题精讲【考点】几何图形的认识【难度】2星【题型】解答【解析】锐角、直角各4个，共8个角．【答案】8个【例4】长方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？【考点】几何图形的认识【难度】2星【题型】解答【解析】共有三种情况，如下图，分别剩下5、4、3个角．【答案】3或4或5个有三种情况【例5】如下图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，共有多少个小洞孔？【考点】几何图形的认识【难度】2星【题型】解答【解析】对已经过五次操作且剪去左下角的纸片做一次反操作，得到的纸片有1个洞孔；再进行一次反操作，得到的纸片上有1×4=4个洞孔．按照这个方法继续做反操作，我们发现规律：从第二次开始，每经过一次反操作，得到的纸片上的洞孔数是反操作前洞孔数的4倍．因此，在进行了五次反操作以后，纸片上的洞孔数应为1×4×4×44=256(个)．【答案】256模块二、几何图形的简单组合【例6】一个等腰三角形的两条边的长度分别是3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是4和9，这个三角形的周长可能是多少？【考点】几何图形的简单组合【难度】3星【题型】解答【解析】第一个三角形：如果腰为3，则周长为433=10；如果腰为4，则周长为443=11．第二个三角形：如果腰为4，此时44＜9，两边之和小于第三边，无法构成三角形，假设不成立，舍；如果腰为9，则周长为994=22．【答案】（1）10、11；（2）22【巩固】周长是12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？【考点】几何图形的简单组合【难度】3星【题型】解答【解析】根据三角形的两边之和大于第三边的得到两腰的和要大于6，并且为偶数，所以两腰的和可以为8、10，有2种情况；长方形的长加宽为122=6，因为6=15=24=33共有3种．【答案】2、3【巩固】用7根长度都是1寸的火柴棍拼成了一个三角形．请问：这个三角形的三条边长分别是多少？【考点】几何图形的简单组合【难度】3星【题型】解答【解析】通过尝试得到：3寸、3寸、1寸或3寸、2寸、2寸．【答案】3、3、1或3、2、2【例7】有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米．不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形？【考点】几何图形的简单组合【难度】3星【题型】解答【解析】将边长是3的边重合，是一个平行四边形，同理可以将边长是4和5的重合，所以共有3种．【答案】3种【巩固】用两个完全相同的、各边长分别为5、12、13的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的平行四边形？【考点】几何图形的简单组合【难度】3星【题型】解答【解析】将边长是5的边重合，是一个平行四边形，同理可以将边长是12和13的重合，分别得到一个平行四边形和一个长方形，因为长方形是特殊的平行四边形，所以共有3种．【答案】3种【例8】用12个边长为1的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？【考点】几何图形的简单组合【难度】3星【题型】解答【解析】拼成的图形长和宽最接近时，新的图形周长最短．即新图形边长为3和4时，周长最短，为342=14【答案】14【例9】把一个正方形分割为三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是8．如何分？【考点】几何图形的简单组合【难度】4星【题型】解答【解析】如下图所示．【答案】答案如图【例10】一个正方体的8个顶角被截去后，得到一个新的几何体．这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？【考点】几何图形的简单组合【难度】3星【题型】解答【解析】这个正方体的8个顶点被截去后，多了8个面，因此共有6+8=14个面；多了(3-1)×8=16个点，因此共有8+16=24个点；多了3×8条棱，因此共有12+3×8=36条棱．【答案】14个面，24个顶点、36条棱模块三、基本图形的周长及面积计算【例11】一个正方形的面积和它的周长的数值相等，那么这个正方形的边长是__________【考点】基本图形的周长及面积计算【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，16题【解析】正方形的面积是边长×边长,而正方形的周长是边长×4,由它们相等知边长等于4。【答案】4【例12】正方形的一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米。【考点】基本图形的周长及面积计算【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第9题，4分【解析】13×13÷2=84.5【答案】84.5【例13】用20厘米长的铜丝弯成边长是整数的长方形，这样的长方形不只一种。其中，面积最小的，长______厘米，宽______厘米；面积最大的长______厘米，宽______厘米。【考点】基本图形的周长及面积计算【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，18题【解析】长+宽=10厘米，长×宽=面积，和一定，差小积大，所以长5厘米、宽5厘米时，面积最大为5×5=25平方厘米；长为9厘米，宽为1厘米时，面积最小为9×1=9平方厘米。【答案】长为9厘米，宽为1厘米时，面积最小；所以长5厘米、宽5厘米时，面积最大【例14】在长方形ABCD中，5BE，4EC4CF1FD，那么△AEF的面积是________．【考点】基本图形的周长及面积计算【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初试，3题【解析】易知ＢＣ＝９，ＣＤ＝５，长方形ABCD的面积为９×５＝４５，而三角形ＡＢＥ的面积为：５×５÷２＝１２.５，三角形ＣＥＦ的面积为：４×４÷２＝８；三角形ＡＤＦ的面积为：９×１÷２＝４.５.，所以三角形AEF的面积是544112.54.58=20【答案】20【例15】右图中平行四边形的面积是21080m，则平行四边形的周长为__________m．【考点】基本图形的周长及面积计算【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初赛，2题【解析】平行四边形的两条边长分别为10801860()m和108022.548()m，周长为(6048)2216()m．【答案】216【例16】如图，平行四边形ABCD被分成三角形ADF和梯形ABCF两部分，它们的面积相差14平方厘米，已知AE＝7厘米，那么FC＝___________厘米。【考点】基本图形的周长及面积计算【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，二试，第11题，5分【解析】过C点做∥CNAF,平行四边形AFCN即为三角形ADF和梯形ABCF两部分的面积差，面积是14平方厘米，所以1472FC（厘米）【答案】2【例17】有三条线段a、b、c，=a2.12米，=b2.71米，=c3.53米，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大（如下图）？1445FEDCBA22.5m18mEFCDBANABDCFE【考点】基本图形的周长及面积计算【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第9题【解析】梯形的面积＝(上底＋下底)×高－2．但我们现在是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以2，这样只须比较(上底＋下底)×高的大小就行了.我们用乘法分配律：第一个梯形的面积的2倍是：(2.12＋3.53)×2.71＝2.12×2.7I＋3.53×2.71第二个梯形的面积的2倍是：(2.7l＋3.53)×2.12＝2.71×2.12＋3.53×2.12第三个梯形的面积的2倍是：(2.12＋2.71)×3.53＝2.12×3.53＋2.7I×3.53先比较第一个和第二个两个式子右边的第一个加数，一个是2.12×2.71另一个是2.71×2.12由乘法交换律，这两个积相等因此只须比较第二个加数的大小就行了，显然3.53×2.71比3.53×2.12大，因为2.71比2.12大因此第一个梯形比第二个梯形的面积