奥数全年级一百七十九专题题库教师版432三角形等高模型与鸟头模型二教师版

板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::SSabs2s1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()ABCADESSABACADAE△△EDCBADECBA例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型图⑴图⑵【例1】如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16ADES△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接BE，::2:5(24):(54)ADEABESSADAB△△，::4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC△△，所以:(24):(75)ADEABCSS△△，设8ADES△份，则35ABCS△份，16ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC△的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【答案】70【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBAABCDE【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接BE．∵3ECAE∴3ABCABESS又∵5ABAD∴515ADEABEABCSSS，∴1515ABCADESS．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接AD．∵3BE，6AE∴3ABBE，3ABDBDESS又∵4BDDC，∴2ABCABDSS，∴6ABCBDESS，5SS乙甲．【答案】5【例2】如图在ABC△中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD，:3:2AEEC，12ADES△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】连接BE，::2:5(23):(53)ADEABESSADAB△△::3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAEAC△△，所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS△△，设6ADES△份，则25ABCS△份，12ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，2AFCF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？EFDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的326（）倍．因此，平行四边形的面积为8648(平方厘米)．【答案】48【例4】已知DEF△的面积为7平方厘米，,2,3BECEADBDCFAF，求ABC△的面积．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC△△，:():()(13):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA△△:():()(21):(34)1:6ADFABCSSADAFABAC△△设24ABCS△份，则4BDES△份，4ADFS△份，9CEFS△份，244497DEFS△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS△平方厘米【答案】24【例5】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSS=AEAC，所以ABES=AEAC×ABCS=15ABCS同理有AEFS=AFABABES,即=AEFS=15×56ABCS=16ABCS.类似的还可以得到CDES=14×45ABCS=15ABCS，BDFS=16×13ABCS=18ABCS．所以有DEFS=ABCS-(AEFS+CDES+BDFS)=(1-16-15-18)ABCS=61120ABCS．即DEFABC三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例6】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中:2:5ABBE，:3:2BCCD，三角形BDE的面积是多少？ABECDDCEBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】2星【题型】解答【解析】由于180ABCDBE，所以可以用共角定理，设2AB份，3BC份，则5BE份，325BD份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABCBDESSABBCBEBD△△，设6ABCS△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例7】如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，13AEAC，13CFBC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】由题意知13AEAC、13CFBC，可得23CEAC．根据”共角定理”可得，:():()12:(33)2:9CEFABCSSCFCECBAC△△；而66218ABCS△；所以4CEFS△；同理得，:2:3CDEACDSS△△;，183212CDES△，6CDFS△故412610DEFCEFDECDFCSSSS△△△△(平方厘米)．【答案】10【例8】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积．FEDCBAABCDEF【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS，1ABCS，∴S1DBC．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18．(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，∴111428ABCFCESACBCSFCCE．又1ABCS，所以8FCES．同理可得6ADFS，3BDES．所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSS．【答案】18【例9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABDEASSSAB．同理36EAHEADEADABDAHSSSSAD．类似的，还可得6FCGBCDSS，有66EAHFCGABDBCDABCDSSSSS=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFBABCSS，6DHGACDSS，有66EFBDHGABCACDABCDSSSSS=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有EAH、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，EAAHABAD=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS=6BCDS，有EAHS+FCGS=6（ABDS+BCDS)=6ABCDS=30平方厘米．连接AC，还可得EFBS=6ABCS，DHGS=6ACDS，有EFBS+DHGS=6（ABCS+ACDS）=6ABCDS=30平方厘米．有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．【答案】65【例10】如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HGABCDEFHGABCDEF【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接AC、BD．根据共角定理∵在ABC△和BFE△中，ABC与FBE互补，∴111133ABCFBESABBCSBEBF△△．又1ABCS△，所以3FBES△．同理可得8GCFS△，15DHGS△，8AEHS△．所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS△△△△．所以213618ABCDEFGHSS．【答案】118【例11】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积．HGFEDCBAABCDEFGH【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接BD．由共角定理得:():()1:2BCDCGFSSCDCBCGCF△△，即2CGFCDBSS△△同理:1:2ABDAHESS△△，即2AHEABDSS△△所以2()2AHECGFCBDADBABCDSSSSS△△△△四边形连接AC，同理可以得到2DHGBEFABCDSSS△△四边形5AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCDSSSSSSS△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCDS四边形平方米【答案】13.2【例12】如图，将四边