奥数全年级一百七十九专题题库教师版436燕尾定理教师版

燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC．OFEDCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：1423:::SSSSBDDCS3S1S4S2EDCBA【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有14::SSBDDC；三角形ABE与三角形EBD同高，12::SSEDEA；三角形ACE与三角形CED同高，43::SSEDEA，所以1423::SSSS；综上可得1423:::SSSSBDDC.【例1】如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC，:4:3CEEA，求:AFFB．OFEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOBAOCSSBDCD△△::3:412:16AOBBOCSSAECE△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOCBOCSSAFFB△△【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果例题精讲燕尾定理能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】27:16【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BDDC，:5:6AECE，求:AFFB.OFEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOBAOCSSBDCD△△::5:615:18AOBBOCSSAECE△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOCBOCSSAFFB△△【答案】10:9【巩固】如图，:2:3BDDC,:5:3AECE,则:AFBFGFEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】根据燕尾定理有:2:310:15ABGACGSS△△,:5:310:6ABGBCGSS△△,所以:15:65:2:ACGBCGSSAFBF△△【答案】5:2【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3BDDC，:5:4EACE，求:AFFB.OFEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOBAOCSSBDCD△△::5:410:8AOBBOCSSAECE△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOCBOCSSAFFB△△【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】15:8【例2】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?35304084OFEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】设BOFSx△，由题意知:4:3BDDC根据燕尾定理,得::4:3ABOACOBDOCDOSSSS△△△△,所以33(84)6344ACOSxx△，再根据::ABOBCOAOECOESSSS△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354xx解得56x:35(5684):(4030)AOES△,所以70AOES△所以三角形ABC的面积是844030355670315【答案】315【例3】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBA33321FEDCBAABCDEFFEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，1ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，3ABFS△份，3AEFEFCSS△△份，如图所标所以551212DCEFABCSS△方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS△△，11212233ADEADCABCSSS△△△，所以11ABDADESBFFES△△，111111122323212DEFDEBBECABCSSSS△△△△，而211323CDEABCSS△△．所以则四边形DFEC的面积等于512．【答案】512【巩固】如图，已知BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.DEFCBADEFCBADEFCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF，因为BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，所以1103ABEABCSS△△，1152ABDABCSS△△．根据燕尾定理，12ABFCBFSAESEC△△，1ABFACFSBDSCD△△,所以17.54ABFABCSS△△，157.57.5BFDS△，所以阴影部分面积是30107.512.5．(法二)连接DE，由题目条件可得到1103ABEABCSS△△，11210223BDEBECABCSSS△△△，所以11ABEBDESAFFDS△△，1111112.5223232DEFDEAADCABCSSSS△△△△，而211032CDEABCSS△△．所以阴影部分的面积为12.5．【答案】12.5【巩固】如图，三角形ABC的面积是2200cm，E在AC上，点D在BC上，且:3:5AEEC,:2:3BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBAABCDEFFEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】连接CF，根据燕尾定理，2639ABFACFSBDSDC△△，36510ABFCBFSAESEC△△,设6ABFS△份，则9ACFS△份,10BCFS△份，5459358EFCS△份，310623CDFS△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm)88DCFES【答案】93【巩固】如图，已知3BDDC，2ECAE，BE与CD相交于点O,则ABC△被分成的4部分面积各占ABC△面积的几分之几？OEDCBA13.54.59211213OEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接CO,设1AEOS△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABCS△份，所以四部分按从小到大各占ABC△面积的124.5139313.59,,,30306030103020【答案】920【巩固】如图所示，在ABC△中，12CPCB，13CQCA，BQ与AP相交于点X，若ABC△的面积为6，则ABX△的面积等于．XQPABCXQPABC4411XQPCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【关键词】香港圣公会数学竞赛【解析】方法一：连接PQ．由于12CPCB，13CQCA，所以23ABQABCSS，1126BPQBCQABCSSS．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQBPQABCABCAXXPSSSS，所以4412262.455255ABXABPABCABCSSSS．方法二：连接CX设1CPXS△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)42.4ABXS△【答案】2.4【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773FEDCBAx+3x773FEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BFFE，再连结DE．所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，则:33:10:10xADDBx，所以15x，四边形的面积为18．方法二：设ADFSx△，根据燕尾定理::ABFBFCAFEEFCSSSS△△△△,得到3AEFSx△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3xx，解得7.5x四边形的面积为7.57.5318【答案】18【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，2BDDC，2CEAE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDEF48621ABCDEF【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接CF，设1AEFS△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEFS△,62217ABFS△,821BDFS△,242217FDCES【答案】27【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且:2:3AEEC,:1:2BDDC，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于222cm，则三角形ABC的面积．ABCDEFABCDEF2.41.62ABCDEF12【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】连接CF,根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，23ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，2ABFS△份，4AFCS△份，241.623AEFS△份,342.423EFCS△份,如图所标,所以22.44.4EFDCS份,2349ABCS△份所以2224.4945(cm)ABCS△【答案】45【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知2AC，2CD，3CB，AMBM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少？ABCDMNABCDMN【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接BN．ABC△的面积为3223根据燕尾定理，::2:1ACNABNCDBD△△；同理::1:1CBNCANBMAM△△设AMN△面积为1份，则MNB△的面积也是1份，所以ANB△的面积是112份，而ACN△的面积就是224份，CBN△也是4份，这样ABC△的面积为441110份，所以AMN△的面积为31010.3．【答案】0.3【例4】如图所示，在ABC△中，:3:1BEEC，D是AE的中点，那么:AFFC．FEDCBAFEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】连接CD．由于:1:1ABDBEDSS△△，:3:4BEDBCDSS△△，所以:3:4ABDBCDSS△△，根据燕尾定理，::3:4ABDBCDAFFCSS△△．【答案】3:4【巩固】在ABC中，:3:2BDDC，:3:1AEEC，求:OBOE？ABCDEOABCDEO【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接OC．因为:3:2BDDC，根据燕尾定理，::3:2AOBAOCSSBDBC，即32AOBAOCSS；又:3:1AEEC，所以43AOCAOESS．则3342223AOBAOCAOEAOESSSS，所以::2:1AOBAOEOBOESS．【答