奥数全年级一百七十九专题题库教师版443圆与扇形三教师版

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr；扇形的面积2π360nr；圆的周长2πr；扇形的弧长2π360nr．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积所在圆的面积360n；扇形中的弧长部分所在圆的周长360n扇形的周长所在圆的周长360n2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积弓形面积2二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)②等积变形(割补、平移、旋转等)③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块、曲线型旋转问题【例1】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)例题精讲圆与扇形ABBCA【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120的圆弧，所以路线的总长度为：1202π628π360厘米；三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：2120π621524π15360平方厘米．【答案】24π15【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达1B，1C点；再绕1B点转动，到达位置Ⅲ，此时A，1C点分别到达2A，2C点．求C点经1C到2C走过的路径的长．6030B1C1C2A2CBAⅢⅡⅠ【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于BC为AC的一半，所以30CAB，则弧1CC为大圆周长的18030536012，弧12CC为小圆周长的14，而112CCCC即为C点经1C到2C的路径，所以C点经1C到2C走过的路径的长为5150652π202π10π5ππ12433(厘米)．【答案】65π3【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．ⅣⅢⅡⅠEDCBAA2A1ABCDEⅠⅡⅢⅣ【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．这三段路程分别是：第1段是弧1AA，它的长度是12π44(cm)；第2段是弧12AA，它的长度是12π54(cm)；第3段是弧2AE，它的长度是12π34(cm)；所以A点走过的路程长为：1112π42π52π36π444(cm)．【答案】6π【例2】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)30CBA10201030【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的34个圆，B，C分别是半径为20米和10米的14个圆．所以羊活动的范围是222311π30π20π10444222311π3020104442512．【答案】2512【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)33【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角300°的扇形与两个半径1m，圆心角120°的扇形之和．所以答案是243.96m．【答案】43.96【例3】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到'B点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)．B'BA60【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】面积圆心角为60的扇形面积半圆空白部分面积(也是半圆)圆心角为60的扇形面积22603π3π4.5(cm)3602．【答案】4.5【例4】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，60ABC，此时BC长5厘米．以点B为中心，将ABC顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)ABCDE【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】注意分割、平移、补齐．(2)(1)EDCBA如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，因为60EBD，那么120ABE，则阴影部分为一圆环的13．所以阴影部分面积为221π753ABBC(平方厘米)．【答案】75【巩固】如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)A'AO【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边OA．因此可以求得，三角形扫过的面积为：124π10102425π994(平方厘米)．【答案】99【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC中，B为直角，且2BC厘米，4AC厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为．(π3.14)CBAB'A'CBA【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图所示，假设ABC旋转120到达''ABC的位置．阴影部分为AB边扫过的图形．从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形'ACA的面积与ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形'BCB的面积与''ABC的面积，由于ABC的面积与''ABC的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形'ACA与扇形'BCB的面积之差，为22120120π4π24π12.56360360(平方厘米)．【答案】12.56【例5】如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C点为圆点，顺时针旋转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是平方米。（=3.14）【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。11rr1r1因为2221rr，所以212r。所求面积为222211111110.6775424428r（平方米）【答案】0.6775【例6】如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．(取3.14)DCBA【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如下图所示，D\A\B\DCBAB\\DB\D\\A\D\CBA如下图所示，端点A扫过的轨迹为AAA，端点D扫过轨迹为DDD，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，AD所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然,有阴影部分面积为ADCACAACDSSSS直角扇形直角扇形CDD,而直角三角形ADC、ACD面积相等．=ADCACAACDACASSSSSS直角扇形直角扇形CDD扇形扇形CDD222290909=(54)7.065()36036044ACCD平方厘米即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．【答案】7.065【例7】(祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积．CBDA【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的14，如图：B'A'DCBA因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为9π4．2、研究AB边的情况．在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：DCB'BA'A下面来求这部分的面积．观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形'ACA面积＋三角形''ABC面积－三角形ABC面积一扇形'BCB面积＝扇形'ACA面积一扇形'BCB面积225π3π444π3、研究AD边扫过的图形．由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图阴影部分所示：AA'BB'CD用与前面同样的方法可以求出面积为：225π4π9π444旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．【答案】（1）BC边扫过图形的面积为9π4（2）AB边扫过图形的面积为4π（3）AD边扫过图形的面积为9π4（4）DC边扫过图形的面积为4π【例8】(华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A，观察半径OA，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径OA也运动到了与初始时相对的位置．这时OA沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到OA与初始位置重合，这时OA自身转了1圈，因此小铁环自身也转了1圈．⑵⑴AOAO【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．【答案】1圈【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图，同样考虑小圆的一条半径OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径OA滚动了540，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．⑴OA⑵OA也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3