奥数全年级一百七十九专题题库教师版5112算式谜二教师版

数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要横式数字谜问题，因此，会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题一、基本概念填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。算符：指+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。二、解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。三、奇数和偶数的简单性质（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.（2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.（二）性质：①奇数≠偶数.②整数的加法有以下性质：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.③整数的减法有以下性质：奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数.④整数的乘法有以下性质：奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数.知识点拨教学目标5-1-1-2.算式谜（二）模块一、填横式数字谜【【例例11】】将数字1~9填入下面方框，每个数字恰用一次，使得下列等式成立；200724★□□□□□□□现在“2”、“4”已经填入，当把其它数字都填入后，算式中唯一的减数（★处）是．【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初赛，3试题【【解解析析】】方法一：首先可以估算四位数的取值范围：四位数不大于2007913428010，不小于2007198427638．显然四位数的千位数字只能是7．再由四位数与2的和能被4整除，可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是6或8．若为6，由个位是8而能被4整除的数其十位数字是偶数，可知四位数只能为7986，而7986241997，故只需利用剩下的数凑出10即可．剩下的数字是1，3，5，不能凑出10．所以四位数的个位数字不是6．四位数的个位数字是8时，由个位是0而能被4整除的数其十位数字是偶数，故四位数的十位数字是1、3、7或9．当四位数的十位数字是1时，四位数只可能是7918，而7918241980，故只需利用剩下的数凑出27即可．剩下的数字是3，5，6，不能凑出27；当四位数的十位数字是3时，四位数只可能是7938，而7938241985，故只需利用用剩下的数凑出22即可．剩下的数字是1，5，6，不能凑出22；当四位数的十位数字是5时，四位数只可能是7658或7958，若为7958，则由7958241990，需利用剩下的数凑出17即可．剩下的数字是1，3，6，不能凑出17；若为7658，有7658249312007；当四位数的十位数字是9时，四位数只可能是7698，而7968241925，故只需利用剩下的数凑出82即可．剩下的数字是3，5，6，不能凑出82；故此题只有惟一答案：7658249312007．算式中唯一的减数是1．方法二：根据弃九法，7□□□+2+4+□□+★被9整除，而(7□□□+2)÷4+□□-★也被9整除。所以，后一式乘以4得到7□□□+2+4×□□-4×★被9整除，减去前一式得到3×□□-4-5×★被9整除。所以，★被3除余1，而4和7都已用，则★=1。【答案】1【【例例22】】将1～9这九个数字分别填入下面算式的空格内，其中有一个数字已经知道，每个空格内只许填一个数字，使算式成立：==7□□□□□□□□【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】3星【题型】填空【【解解析析】】观察此横式，共三个算式，□□□□□、□□、7□，要使这三个算式的运算结果相同.由于第三个算式的减数已经知道，所以选择第三个算式7□的差作为解题的突破口.因为7□中被减数可填8和9，所以7□，的差就可以为1和2这两种情况.（1）若第三个算式为87，由于第一个算式□□□□□，不论这五个空格内填什么数字，都不能出现商为1，因此第三个算式不可能为87.（2）若第三个算式为97，那么第一个算式为：=□□□□□2，即=2□□□□□，从而积的百位数为1，此时还有2，3，4，5，6，8可填，由数字不重复出现可得两位乘数只能为86、83、82、64、62五种取值。若乘数为86，积为86×2＝172，7已出现，不行；若乘数为83，积为83×2＝166，6重复出现，不行；若乘数为82，积为82×2＝164，剩下的5－3＝2，可以，此时有164825397若乘数为64，积为64×2＝128，剩下的5－3＝2，可以，此时有128645397若乘数为62，积为62×2＝124，2重复出现，不行.例题精讲【答案】164825397或128645397。【【例例33】】1～9这九个数字分别填入下面算式的空格中，每个空格只许填一个数字，使算式成立：==□□□□□□□□□【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】由于三个算式都是两位数除以一位数，所以考虑起来比较困难.（1）如果1出现在被除数的十位，则每个算式的商最小为2，最大为9.为了叙述方便，将方格内先填上字母：ABCDEFGHI①若2ABCDEFGHI，则三个算式中A＝D＝G＝1，出现重复数字，所以三个算式的商不可能都为2.②3ABCDEFGHI，则三个算式中的A、D、G必为1和2，也出现重复数字，所以三个算式的商不可能都为3.③4ABCDEFGHI，则三个算式中的A、D、G为1、2和3，12÷3＝424÷6＝432÷8＝416÷4＝428÷7＝436÷9＝4若第一个算式为123，则D与G都不能为2，只能为3，出现重复数字，因此第一个算式为164，由于4与6都已用过，所以第二个算式不可能为246，便为287，这时剩下3、5、9三个数字没有用过，而这三个数字无法组成商为4的除法算式，因此三个算式的商不可能都为4.④三个算式的商不可能都为5，否则会出现B＝E＝H＝5，或B、E、H中有为0的，而我们所使用的数字中不包括0.⑤若6ABCDEFGHI，18÷3＝642÷7＝654÷9＝6由于在这三个算式的被除数与除数部分，4重复出现，因此三个算式的商不可能都为6.⑥若7ABCDEFGHI，14÷2＝721÷3＝728÷4＝742÷6＝7，49÷7＝756÷8＝763÷9＝7由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为7.⑦若8ABCDEFGHI16÷2＝824÷3＝832÷4＝856÷7＝864÷8＝872÷9＝8由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为8．⑧若9ABCDEFGHI18÷2＝927÷3＝936÷4＝954÷6＝963÷7＝972÷8＝981÷9＝9由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为9．（2）如果1出现在被除数的个位，则商为3、7、9、13、17、27．①若3ABCDEFGHI，21÷7＝3剩下3、4、5、6、8、9这六个数字，不可能组成被除数是两位数，除数是一位数且商为3的除法算式，因此这三个算式的商不可能都为3．②若7ABCDEFGHI，21÷3＝756÷8＝749÷7＝7便有2135684977③若9ABCDEFGHI，81÷9＝954÷6＝927÷3＝9便有2735468199④若13ABCDEFGHI91÷7＝1352÷4＝13，还剩3、6、8三个数字，不可能组成商为13的除法算式．因此三个算式的商不可能都为13．⑤若17ABCDEFGHI，51÷3＝1768÷4＝17，还剩2、7、9三个数字，不可能组成商为17的除法算式．因此三个算式的商不可能都为17．⑥若27ABCDEFGHI，81÷3＝2754÷2＝27，还剩6、7、9三个数字，不可能组成商为27的除法算式．因此三个算式的商不可能全为27．（3）如果1出现在除数部分，则商为23～29和32，经试验无一成立．解213568497，273546819【答案】213568497，273546819模块二、填横式数字谜综合【【例例44】】将1～9分别填入下面算式的中512□□□□□□，使每个算式都成立，其中1，2，5已填出.【考点】填横式数字谜之整除性质【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】①审题.本题由两个算式构成，题目中给了三个数字.由题目可见，第一个算式的要求比较高.②选择解题的突破口.填出第一式是解决这道题的关键.③确定各□中的数字，观察题目发现，满足第一个算式的只有7×8＝56和6×9＝54.如果第一式填7×8＝56，则剩下的数是3，4，9.无论怎样把它们填入第二式，都不能满足.所以这种填法不行.如果第一式填6×9＝54，则剩下的数是3，7，8.可以这样填入第二式，即：12378本题的答案是：695412378【答案】695412378【【例例55】】下题是由1～9这九个数字组成的算式，其中有一个数字已经知道，请将其余的数字填入空格，使算式成立：=5=□□□□□□□□【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】由于第一个算式中已经知道了一个数字，所以选择第一个算式作为解题的突破口．由于69=54，78=56，所以第一个算式只有这两种情况。现在看第二个算式，为了叙述方便，先将第二个算式的空格内填上字母：=ABCDE由于第二个算式的结果为一位数，所以第二个算式中ABC的商必为一位数，且不为1．①若第一个算式为69=54，则还剩1、2、3、7、8这五个数字，因此D为1或2．若D＝1，则还剩2、3、7、8这四个数字，无论怎样填，也都无法使算式1=ABCE成立．若D＝2，则还剩1、3、7、8这四个数字，无论怎样填，都不能使算式2=ABCE成立．因此第一个算式不可能为69=54②若第一个算式为78=56，则还剩1、2、3、4、9这五个数字，D可能为1、2或3．若D＝1，还剩下2、3、4、9这四个数字，无论怎样填，都无法使算式1=ABCE成立．若D＝2，则还剩1、3、4、9这四个数字，无论怎样填，都无法使算式2=ABCE成立．若D＝3，则还剩1、2、4、9这四个数字，1243=9解78=561243=9，其中7和8可对换，4和9可对换．【答案】78=561243=9，其中7和8可对换，4和9可对换．【【例例66】】是由1～9这九个数字组成的算式，请将这些数字填入空格，使算式成立．==□□□□□□□□□【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】为了叙述方便，先将算式各空格中填上字母：==ABCDEFGHI,于第二个算式的左右两边是两个一位数相除，商必为一位数，且不为1．因此选择第二个算式左右两边的商作为解题的突破口．而这个商可以为2、3或4．①若==2FGHI，有2÷1＝2，4÷2＝2，6÷3＝2，8÷4＝2，2÷1＝6÷3，还剩4、5、7、8、9这五个数字，DE的和最大为89=17，而ABC的积最小为457=140，所以不可能使第一式成立．2÷1＝8÷4，则还剩3、5、6、7、9这五个数字，DE的和最大为79=16，