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1.能够利用短除法分解2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号）所以12223；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：312123kaaaaknpppp其中为质数，12kaaa为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337；100171113；1111141271；1000173137；199535719；1998233337；200733223；2008222251；10101371337.模块一、分解质因数【例1】分解质因数20034=。【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】原式323753【答案】323753【例2】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空【解析】210分解质因数：2102357，可知这三个数是5、6和7。【答案】5、6和7【例3】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【解析】111555分解质因数：1115553353767(3337)(567)333335，所以和为668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337。【答案】668【【巩巩固固】】已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______.【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题【解析】35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12【答案】12元【例4】今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是。【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题【解析】1112131716，1213142184，所以是2184【答案】2184【例5】如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是．【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题【【解解析析】】2126237，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23．【答案】23【例6】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】将360分解质因数得360222335，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为633个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.【答案】8533【例7】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到589225113253749，五个人的年龄和为125岁。【答案】125岁【例8】如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是___________。【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题【解析】根据题意列式子如下：23abab，因为23分解质因数是1与23，所以23,1abab，根据和差关系算出12a，11b，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23，【答案】23【例9】2004720的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】首先分解质因数，20047202222357167，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.165351，166283，16822237，1691313，所以165166167，166167168，167168169都没有4个2，不满足题意.说明167不可行.尝试3341672，335567，336222237，3343353362222235767167，包括了2004720中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.【答案】1005【例10】A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的最大值是。【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题，10分【解析】2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以A的可能值是231或235或675或2011，又2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B两数之差的最大值为2011－230=1781。【答案】1781【例11】（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【解析】题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。4838428337(223)(27)24(232)12141618，由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0，显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为41048384，而44838420，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。【答案】12岁、14岁、16岁、18岁【例12】甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】将6384分解质因数，638422223719，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，1951427，195242223，恰好1419246384，所以这三个数即为14，19，24.一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推．【答案】14，19，24【例13】四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【【解解析析】】分解质因数433024237，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，经检验6、7、8、9恰符合.【答案】9【例14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在100至200之间，则有分法（）。A、3种B、7种C、11种D、13种【考点】分解质因数【难度】3星【题型】选择【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题【解析】只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以可以按每组110人，130人，143人分组，共有3个方案。所以答案为A【答案】A【例15】a、b、c、d、e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是___________。A．1B.3C.5D.10【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题【【解解析析】】D，解：设abcde。由3,6abac推知2cb；由120,300cede推知552dcb。222bcbbb，255bdbbb，22510cdbbb。在15,18,20,50,60,100中，满足2:5:10的三个数是20,50,100,所以21001010b。【答案】D【例16】a、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是_________。（A）0.3（B）0.5（C）1（D）1.5【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择【关键词】迎春杯，高年级，复试，2题【【解解析析】】C，设abcde。由题意知，0.3ab，0.6ac，推知2cb；由12ce，30de，推知3055122dccb，222bcbbb，255bdbbb，22510cdbbb，在1.5,1.8,2,5,6,10中，满足2:5:10的三个数是2,5,10，所以21010b，21b，1b。【答案】1【例17】将1～9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】分解质因数45335，4822223，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4，6或2，3，8或1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是3，7，8或4，6，7，其中和最大的是37818.【答案】18【例18】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．【答案】52【例19】一个长方体的长、宽、高是