奥数全年级一百七十九专题题库教师版544完全平方数及应用一教师版

1.学习完全平方数的性质；2.整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|npN，则2|npN．性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：22()()ababab例题精讲知识点拨教学目标5-4-4.完全平方数及应用（一）模块一、完全平方数计算及判断【例1】已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝211；12321＝2111；1234321＝21111……，于是，我们归纳为1234…n…4321=2(1111)n个1，所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．【答案】7777777【例2】1234567654321(1234567654321)是的平方．【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【【解解析析】】212345676543211111111，212345676543217，原式22(11111117)7777777．【答案】7777777【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第9题【解析】（法1）先将12！分解质因数：105212!235711，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235，所以n最小为104212!2353711231。（法2）12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n的最小值是3711231。【答案】231【例4】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838，所以满足条件的最小正整数是1444．【答案】1444【例5】A是由2002个“4”组成的多位数，即200244444个，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】2200242002444421111A个个1．如果A是某个自然数的平方，则20021111个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而200220011111111110个1个1不是4的倍数，矛盾，所以A不是某个自然数的平方．【【巩巩固固】】A是由2008个“4”组成的多位数，即4442008个4，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】不是．24442111A2008个12008个4假设A是某个自然数的平方，则1112008个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而111111102008个12007个1不是4的倍数，与假设矛盾．所以A不是某个自然数的平方．【例6】计算11112004个1－22221002个2=A×A，求A．【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】此题的显著特征是式子都含有1111n个1，从而找出突破口.11112004个1－22221002个2=11111002个100001002个0－11111002个1=11111002个1×（100001002个0-1）=11111002个1×（99991002个9）=11111002个1×（11111002个1×3×3）=2A所以，A＝33331002个3.【答案】33331002个3【例7】①22004420038444488889A个个，求A为多少?②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】①本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有2004420038444488889个个可以看成48444488889n个n-1个，其中n＝2004；寻找规律：当n=1时，有2497；当n=2时，有2448967；当n=3时，有2444889667……于是，类推有2004420038444488889个个=22003666667个方法二：下面给出严格计算：2004420038444488889个个=4444400002004个2004个0+20048888个8+1；则4444400002004个2004个0+20048888个8+1＝11112004个1×（4×0100002004个+8）+1＝11112004个1×［4×（999992004个+1）+8］+1＝11112004个1×［4×（999992004个）+12］+1＝2(1111)2004个1×36+12×11112004个1+1＝2(1111)2004个1×36+2×（6×11112004个1）+1＝22(666661)(66667)2004个62003个6②由①知4444488889n个n-1个8＝266667n-1个6，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令12n+1=2005解得n=167，所以4444488889167个166个8=266667166个6。所以存在这样的数，是4444488889167个166个8【答案】（1）22003666667个,（2）4444488889167个166个8=266667166个6模块二、平方数特征（1）平方数的尾数特征【例8】下面是一个算式：112123123412345123456，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【【解解析析】】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【答案】不是【例9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第10题【解析】4914925，1,2,3,5全排列共有24个。【答案】24【例10】用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题【【解解析析】】四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是362＝1296．当四位完全平方数是1296时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经使用．当四位完全平方数是372＝1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为282．所以，其中的四位完全平方数最小是1369．【答案】1369【例11】称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N=。【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题【【解解析析】】N=k×(1+k)/2=m^2，4位数的话2000=k×(k+1)20000,45=k=140，k=2nn*(2n+1)=N。n与2n+1互质，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。23=n=70发现没有：k=2n-1，n×(2n-1)=N同上，满足要求是1650找到25所以k=49，N=1225，m=35。【答案】1225（2）奇数个约数——指数是偶数【例12】在224，339，4416，5525，6636，……等这些算是中，4，9，16，25，36，……叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分【解析】45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是1936.【答案】1936【例13】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之