奥数全年级一百七十九专题题库教师版553余数性质一教师版

1.学习余数的三大定理及综合运用2.理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么na与nb除以m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。知识点拨教学目标5-5-3.余数性质（三）而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。模块一、余数的加减法定理【【例例11】】幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只桔子，200块饼干，120块奶糖。平均分发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖。这班里共有_______位小朋友。【考点】余数的加减法定理【难度】1星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是36，180，108的大于20的公约数，只有36。【答案】36【【例例22】】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507，25360253679，所以这样的数组共有下面4个：2000,2003，1998,2000,2003，2000,2003,2001,1995，1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【【例例33】】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。【答案】5【【例例44】】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】(70110160)50290，50316......2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，110581......52，5250，所以除数不是58．70292......12，110293......23，160295......15，12231550，所以除数是29【答案】29例题精讲【【巩巩固固】】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】n能整除639112925258．因为2538...1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43.【答案】43【【例例55】】如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】解答【解析】从5！开始个位数字都是0了因此只需要计算前4个数,1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33所以末位数字一定是3【答案】3【【例例66】】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小数报【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332(元)．【答案】32【【巩巩固固】】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)119339...2，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．【答案】20【【巩巩固固】】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．【答案】1193【【例例77】】从1，2，3，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，初赛，六年级，第8题【解析】取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在12007中，除以15的余数为0的有151，152，…，15133，共有133个；除以15的余数为5的有1505，1515，…，151335，共有134个；除以15的余数为10的有15010，15110，…，1513310，共有134个．所以N最大为134．【答案】134【【例例88】】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】解答【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是31k型的数，又是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．【答案】37【【例例99】】有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是548021963284，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看2215，1224，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是7427421484(人)．【答案】1484模块二、余数的乘法定理【【例例1100】】求2461135604711的余数．【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答【解析】因为246111223...8，1351112...3，604711549...8，根据同余定理(三)，2461135604711的余数等于83811的余数，而838192，1921117...5，所以2461135604711的余数为5．【答案】5【【巩巩固固】】求478296351除以17的余数．【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1．【答案】1【【巩巩固固】】求4373091993被7除的余数．【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先将4373091993算出以后，即43730