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1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．知识精讲教学目标工程问题（三）工程问题方法与技巧（一）等量代换法【例1】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的25．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】法一：甲、乙合作完成工程的25需要：230125(天)．甲队先做4天，比合作少了1248(天)；乙队后做16天，比合作多了16124(天)，所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4:81:2．甲队单独工作需要：3030290(天)；乙队单独工作需要：3030245(天)。法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的130，而题目中给定的“甲队先挖4天，再由乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的1243015，也就是说乙队12天挖了22451515，于是乙队的工作效率为41121545，那么甲队的工作效率就是111304590，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天。工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系．其实这一点是与工程习惯无关的．【答案】甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天【例2】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要133天，丙做13天，乙要26天，而甲只要263天他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要1326132633天【答案】26天【例3】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的18，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的18，即甲每天抄写书稿的116；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的18，即丙每天抄写书稿的148；于是可知乙每天抄写书稿的18-116-148＝124.所以乙一例题精讲人单独抄写需要1÷124=24天才能完成．【答案】24天【例4】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成．两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的34，因此甲4天完成的量，乙需要416433天完成，除去与甲合作的2天以外，乙还要做1610233天。法二：甲的工作效率为16，所以乙的工作效率为113468．两队合作2天后乙队独做还要111101226883天才能完成．【答案】103天【例5】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人合做需要几天完成？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多325天，所以乙独做需要的天数是：3(32)1532(天)，甲独做需要15510(天)，甲、乙合做需要11161015(天)．【答案】6(天)【例6】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：甲15天乙12天甲20天乙8天甲5天乙20天从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量．于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要20424(天)完成，即乙的工作效率是124．又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的45，为14124530，那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为1111()1324303(天)．【答案】1133天【巩固】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知，甲做862小时的工作量等于乙做1266小时的工作量，可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量．那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要631230小时，甲先做的3小时相当于乙做了9小时，所以乙还需要30921小时．【答案】21小时【巩固】一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】由题意可知，甲、乙合作的效率为110；将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时，乙单独抄5小时，则乙单独工作的效率为1118(138)1025，所以甲单独工作的效率113102550．甲、乙两人的工作效率之比为31:3:25025．甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要132(32)15小时，所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要14101855小时．【答案】485小时【例7】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成12时前来帮忙，待工程完成56时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟133天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成．还知道乙的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成56时离去，所以乙、丙合做了全部工程的13；如果丙不来帮忙，这13的工程由乙独做，那么乙完成这13的工程时间将比乙、丙合做多用103天．由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的43倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的43倍，所以乙、丙合做这13的工程所用的时间为104(1)1033天．那么乙的工效为11110(1)3340．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为1120240天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天(被分成了前后两段)乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的111710240312，根据题意，这712的工程如果由甲独做，只需要20614天，那么甲的工效为71141224．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做可比计划提前6天完成，所以原计划工期是24630天．【答案】30天（二）比例法【例8】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的23。已知甲与乙的工作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】乙5小时完成总工作量的2313534；乙每小时完成总工作量的115420；乙需要完成的总工作量为12；乙要完成这个任务还需要的时间：1155220（小时）【答案】5小时【例9】一项工程，甲15天做了14后，乙加入进来，甲、乙一起又做了14，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天?【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为1.60又乙、丙工作的天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的14的工程与甲、乙、丙合作完成1111442的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=1.60又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙的工作效率为3,120丙的工作效率为：5.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：11311815()()156627460120260120天.方法二：显然甲的工作效率为160，设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x．所以有乙工作的天数为1111(3)(8),460260xx丙工作的天数为11(8).260x且有111111(3)(8)2(8).460260260xxx即1111(3)(8),460260xx解得1.120x所以乙的工作效率为3,120丙的工作效率为高5.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：11311815()()156627460120260120天.【答案】27天【例10】甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后因丙村不出工，将他