2020届上海市复旦大学附属中学高三上学期10月月考数学试题解析版

2020届上海市复旦大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设a，b为正实数，则“ab”是“11abab”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】因为a，b为正实数且ab，所以1111,--abab所以，所以11abab；若11abab，即2211abab，两边同乘以ab，得22,a-b+10abbabaab即，因为a，b为正实数，所以+10ab，所以a-b0ab即。即“ab”是“11abab”成立的充要条件，故选C.2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.2aB.273aC.2113aD.25a【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图：则其外接球的半径为222722sin6012oaaRa球的表面积为22774123aSa球；故选B．3．函数()fx的定义域为［－1,1］，图象如图1所示，函数()gx的定义域为［－1,2］，图象如图2所示，若集合A＝|(())0xfgx，B＝|(())0xgfx，则AB中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】试题分析：由图可知，当()0fx时，1,0,1xxx，由()1,()0,()1gxgxgx得，1,0,1xxx，即{1,0,1}A，当()0gx时，0,2xx，由()0,()2fxfx得，1,0,1xxx，所以{1,0,1}B，即{1,0,1}AB，故选C.【考点】1.函数的图象；2.复合函数求值；3.集合的表示与运算.4．设函数fx的定义域为R，满足22fxfx，且当0,2x时，194fxxx．若对任意,xm，都有23fx，则m的取值范围是（）A．215，B．163，C．184，D．194，【答案】D【解析】利用对勾函数求得fx在0,2x的最小值，再22fxfx得图象向右移动2个单位，其函数值扩大2倍，从而求解.【详解】当0,2x时，194fxxx的最小值是1,4由22fxfx知当2,4x时，19224fxxx的最小值是1,2当4,6x时，19444fxxx的最小值是1,要使23fx，则1924443xx，解得：194x或16.3x故选D.【点睛】本题考查对勾函数和22fxfx的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.二、填空题5．已知:p“角的终边在第一象限”，:q“sin0”，则p是q的________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分非必要【解析】根据sin0得出角终边的位置，然后利用充分必要性判断出p、q之间的关系.【详解】若sin0，则角的终边在第一象限、y轴正半轴或第二象限，所以，p是q的充分非必要条件，故答案为：充分非必要.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般利用集合的包含关系进行判断，转化条件如下：（1）ABÜ，则“xA”是“xB”的充分不必要条件；（2）ABÝ，则“xA”是“xB”的必要不充分条件；（3）AB，则“xA”是“xB”的充分必要条件；（4）AB，则“xA”是“xB”的既不充分也不必要条件.6．函数210fxxx的反函数1fx________.【答案】11xx【解析】由0x，得出1y，再由21yx可解出x，由此可得出函数1yfx的解析式，并标明定义域.【详解】当0x时，211fxx，由21yx，得1xy，因此，111fxxx，故答案为：11xx.【点睛】本题考查反函数解析式的求解，还应注意求解原函数的值域，作为反函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.7．记不等式260xx的解集为A，函数lgyxa的定义域为B，若AB，则实数a的取值范围为________.【答案】3a【解析】解出集合A、B，再由AB可得出实数a的取值范围.【详解】解不等式260xx得32x，则3,2A，由0xa，得xa，则,Ba.AB，所以，3a，因此，实数a的取值范围是,3，故答案为：,3.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数的取值范围，同时也涉及了二次不等式的解法和对数函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.8．设1lg1axfxx为奇函数，则a________.【答案】1【解析】由奇函数的定义fxfx，结合对数的运算性质求出a的值，然后对a的值代入函数解析式进行检验，从而得出实数a的值.【详解】函数1lg1axfxx为奇函数，则fxfx，即11lglg11axaxxx，即11lglg11axxxax，即1111axxxax，所以22211axx，得21a，1a.当1a时，函数yfx的解析式中真数为1，不合乎题意；当1a时，1lg1xfxx，由101xx，解得1x或1x，此时，函数yfx的定义域为,11,U，关于原点对称，且满足fxfx，则函数yfx为奇函数.故答案为：1.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，在利用函数奇偶性的定义求参数时，所得出的答案还应检验，以便舍去不合乎要求的答案，考查计算能力，属于中等题.9．已知1a，则代数式21aa的最小值为________.【答案】221【解析】将代数式变形为221111aaaa，再利用基本不等式求出该代数式的最小值.【详解】1aQ，10a，由基本不等式得22211211111aaaaaa221，当且仅当12a时，等号成立，因此，代数式21aa的最小值为221，故答案为：221.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，要注意对代数式进行配凑，同时注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.10．已知集合2,1,0A，1,0,1,2B，则集合,abaAbB的子集个数为__.【答案】64【解析】利用列举法求出集合,abaAbB，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.【详解】2,1,0AQ，1,0,1,2B，,4,3,2,1,0,1abaAbB，则集合,abaAbB有6个元素，其子集个数为6264，故答案为：64.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，同时也考查了集合中的新定义，解题的关键就是确定出所求集合的元素的个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知7sincos13，π(,0)2，则tan．【答案】125【解析】试题分析：由7sincos13得249(sincos)169，所以60sincos169，因为(,0)2，所以sin0,cos0，由7sincos1360sincos169得12sin135cos13，所以sin12tancos5．【考点】同角间的三角函数关系．12．已知正数a、b满足4ab，且2log3ab，则ab________.【答案】4或5【解析】由4ab，得出log42log2bba，由2log3ab得出22log2log3bb解出b的值，进而得出a的值，从而得出ab的值.【详解】4abQ，log42log2bba，由2log3ab得出22log2log3bb，由换底公式可得21log2logbb，222log3logbb，可得2log1b或2log2b.①当2log1b时，2b，此时，22log22a，则4ab；②当2log2b时，4b，此时，4log41a，则5ab.因此，4ab或5，故答案为：4或5.【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.13．已知函数211xfxx的定义域是,03,，则fx的值域是________.【答案】51,22,2U【解析】将函数yfx的解析式变形为122fxx，然后分0x和3x两种情况讨论，利用不等式的性质求出函数yfx的值域.【详解】211211xfxxxQ.①当0x时，11x，则1101x，此时121,21fxx；②当3x时，12x，则11012x，此时1522,12fxx.因此，函数yfx的值域为51,22,2U，故答案为：51,22,2U.【点睛】本题考查分式型函数值域的求解，一般利用变量分离法结合不等式的性质进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.14．对于函数fx，若存在正实数M，对于任意1,x，都有fxM，则称函数fx在1,上是有界函数，下列函数：①11fxx；②21xfxx；③1ln1xfxx；④sinfxxx；其中在1,上是有界函数的序号为________.【答案】②【解析】求出①②③④中各函数yfx在1,上的值域，结合题中的定义进行判断即可.【详解】对于①中的函数11fxx，当1x时，101fxx，该函数在1,上的值域为0,，所以，不存在正实数M，对于任意1,x，使得fxM成立；对于②中的函数21xfxx，当1x时，211111212xfxxxxxx，又0fx，102fx，该函数在1,上的值域为10,2，所以，存在正实数M，当12M时，对于任意1,x，都有fxM；对于③中的函数1ln1xfxx，当1x时，1210,111xxx，1ln01xfxx，该函数在1,上的值域为,0，所以，不存在正实数M，对于任意1,x，使得fxM成立；对于④中的函数sinfxxx，取22xnnN，则2222fnn，lim2lim222nnfnn，同理，取322xnnN，32222fnn，33lim2lim222nnfnn，所以，函数sinfxxx在1,上的值域为,，所以，不存在正实数M，对于任意1,x，使得fxM成立.综上所述：在1,上是有界函数的序号为②，故答案为：②.【点睛】本题考查函数新定义“有界函数”的理解，解题的关键就是求出函数的值域，结合定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等