经典机控3-时间响应

机械工程控制基础2012.10主讲人：张燕机械类专业必修课机械与动力工程学院教学内容1、课程准备7、系统的性能指标与校正2、绪论4、系统的时间响应分析3、系统的数学模型5、系统的频率特性分析6、系统的稳定性分析3.1时间响应及其组成、典型输入信号3.2一阶系统的时间响应3.3二阶系统的时间响应3.4二阶系统的性能指标3.5高阶系统地时间响应3.6系统的误差分析及计算3.7单位脉冲函数在时间响应中的作用第三章系统的时间响应分析教学内容3.1时间响应及其组成、典型输入信号建立系统数学模型后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的方法之一。时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，时间响应不仅取决于系统本身特性，而且与外加的输入信号有较大的关系。时域分析的目的：在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。时域法的特点：时域法是最基本的分析方法，是学习复域法、频域法的基础。（1）直接在时间域中分析系统，直观，准确；（2）可以提供系统时间响应的全部信息；（3）基于求解系统输出的解析解，比较烦琐一、时间响应及其组成概念说明：系统的响应及其组成：就是指描述系统的微分方程的解及其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。实例分析1—无阻尼单自由度系统mk)(tym-k单自由度系统FcosωttFtkydttydmcos)()(22系统微分方程：系统的时间响应—响应组成及一阶系统微分方程解的组成：tytyty21特解齐次微分方程通解系统的时间响应—响应组成及一阶系统由理论力学与微分方程解的理论可知：特解与输入有关通解与输入无关的值。对应特解是的值；时对应通解是)()()()(0)(tytftkymtytkyy(2)(t)my(2)(t))sincos()(2)()(2)(20212121221xCxCetyjaxCCetyeCeCtyqprry(2)(t)+py(1)(t)+qy(t)=0axrxxrxrbbb±，则通解为：个共轭虚根若方程有解为：个相等的实数根，则通若方程有通解为：个不相等的实数根，则若方程有化为的通解：求微分方程解的表现形式：n,11kFY,t,Ycos(t)y22代入微分方程得设微分方程的特解为nkFYtFtYkm2211coscos即有将y2(t)代入系统的微分方程中，可得：()()0,nkmytkytjmkm有虚根通解为1nny(t)AsinωtBcosωt为系统的无阻尼固有频率。于是，式的完全解可写成如下形式：tkFtBtAtynncos11cossin2为求常数A和B，将上式对t求导可得：000ytyytyt，时，设联立以上二式可解得：20011kFyByAn特解，与输入有关通解，与输入无关22()()cosdytmkytFtdttkFtBtAtynnnnsin1sincos2y′(t)=y0′tkFtλ11kFty(0)tω(0)ytkFtλ11kFy(0)tω(0)ytyn2nnnn2nncos11coscossincos11cos][sin)(22求得方程的解：tkFtλ11kFty(0)tω(0)ytyn2nnncos11coscossin)(2由微分方程初始条件引起的响应由作用力引起的响应自由响应强迫响应还不是完全意义上的自由响应，其振幅还是受F的影响自由响应的振动频率与自身特性有关强迫响应的振动频率与外加作用力的振动频率相关由作用力引起的自由振动tkFtkFtytytynnnncos11cos11cos)0(sin)0()(22.自由响应（频率为ωn）强迫响应（频率为ω）零输入响应零状态响应零输入响应：无输入时系统初态引起的自由响应。零状态响应：在零初始条件下（输入为零的时刻、系统的初态也为零），由输入引起的响应。系统的时间响应—响应组成及一阶系统牢记！控制工程的研究内容主要是零状态响应！2、系统时间响应的一般组成对系统微分方程x(t)各阶导数取0，则：txtyatyatyatyannnn0111….方程解的一般形式：tytyty21若方程中齐次方程特征根si(i=1,2,…,n)互异，则：tBtyeAtytsniii211tsniitsniiiieAeAty12111y1(t)又可表示为：系统初态引起的自由响应输入x(t)引起的自由响应系统的时间响应—响应组成及一阶系统tBeAeAtynitsinitsiii1211)(自由响应强迫响应零状态响应零输入响应系统响应的一般表达为：n与si同系统的初态和输入无关，而取决于系统的结构和参数的固有特性。系统的时间响应—响应组成及一阶系统注意：在定义系统的传递函数时已规定零初始条件，故由初态引起的零输入响应为零，从而对Y(s)=G(s)X(s)进行拉氏反变换得到的y(t)就是零状态响应。在定义传递函数时，其前提条件之一便是：系统初始状态为0)()()(sXsXsGio)()()(sXsGsXio拉氏反变换)]()([)]([)(11sXsGLsXLtxioo)]([)(itxLsXi看看利用传递函数求解响应的过程？此处所求是在系统零状态下的解，即前面讲的零状态解)(txo注意：本书所讲时间响应内容没有特别标明之外，均为零状态响应输入存在导数项的响应求取：mntxbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn01110111........对系统动力学微分方程的一般形式求导：txtyatyatyatyannnn0111....若[x(t)]´为新输入则新输出为[y(t)]´，所以以x(t)的n阶导数为输入则以y(t)的n阶导数为输出。存在导数的输入的响应是各阶导数输出的叠加。系统的时间响应—响应组成及一阶系统讨论：1.系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态无关；2.由y(t)=L-1[G(s)X(s)]所求得的输出是系统的零状态响应3.对于线形定常系统，若x(t)引起的输出为y(t)，则x′(t)引起的输出为y′(t)。系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡性不同的特征根对应的自由响应：(a):Resi0系统收敛实部相同，虚部越大，振荡越剧烈虚部相同，实部越小，收敛越慢实部为零，只有虚部，振荡不收敛虚部减小，振荡减弱虚部为零，实部相等，不振荡(b):Resi0系统发散虚部为零，实部相等，不振荡若所有的特征根都具有负实部，系统的自由响应项收敛于0（系统稳定）此时，自由响应称为瞬态响应若存在特征根的实部为正，其余为负，则系统的自由响应项发散（系统不稳定）若存在特征根的实部为零，其余为负，则系统的自由响应项等幅振荡（系统临界稳定）在此还要强调：Resi是大于还是小于零，决定系统稳定还是不稳定；Resi绝对值大小，决定系统的快速性；而Imsi则在决定系统的振荡情况，影响系统响应的准确性。总结：振动性质振动来源自由响应强迫响应零输入响应零状态响应稳定性质瞬态响应稳态响应信号分类：确定性信号：能够用明确的数学关系式描述的信号。非确定性信号：不能用数学关系式描述的信号。特点：可分为周期、非周期信号与准周期信号。特点：幅值、相位变化不可预知，只服从统计规律。系统的时间响应—响应组成及一阶系统在分析和设计系统时，为了能够方便地评价其性能的优劣，需要规定一些典型输入信号。从而通过比较系统对典型输入信号的时间响应来判定系统的动态性能。二、典型输入信号正弦信号(e)txi(t)0sintttxitxi(t)随机函数(f)系统性能评价原理：sXsXsGsXsXioio2211)()()()(1221txtxtxtxoioi系统试验方法：系统正常工作输入信号特点：不影响系统正常工作，但不能保证全面了解系统动态特性。经验典型信号特点：能综合测试系统的动态特性。系统的时间响应—响应组成及一阶系统典型输入信号的选择原则：能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。教学内容3.2一阶系统的时间响应定义：可用一阶微分方程描述的系统。微分方程：txtxdttdxTioo11)()()(TSsXsXsGio传递函数：特征参数：一阶系统时间常数T。T表达了一阶系统本身与外界作用无关的固有特性。特点：输入瞬态；响应有瞬态无稳态，且按指数规律衰减。主要原因是引起此响应的输入是瞬态作用-1/T2-0.3681/T2-0.1351/T2-0.0181/T201/T0.3681/T0.1351/T0.0181/T00T2T4T∞w′(t)w(t)t1/T0.3681/T-1/T2斜率TteTtw1T2Tt特性分析：过渡过程：响应衰减到初值2％之前的过程。调整时间：过渡过程历经的时间ts=4T。T越大，ts越长，系统惯性越大；一阶系统可称为一阶惯性系统。系统的时间响应—响应组成及一阶系统斜率1/T10.632ATtxou(t)Ttouetx/10特性分析：1/T0.3681/T0.1351/T0.0181/T000.6320.8650.98210T2T4T∞xou′(t)xou(t)t响应说明：单调上升的指数曲线；重要特征点：A点—t=T,xou(t)=0.632；0点—t=0,斜率为1/T。包含了一阶系统固有特性的有关信息不同时间常数下的时间响应一阶系统的性能指标：调整时间ts一阶系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的关系？结论：如果一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；如果一个输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分，但是如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数。Ttouetxtttu1)(0001)(TteTtwttt/1)(000)(单位脉冲单位阶跃w(t)xou′(t)而δ(t)0u′(t)0时，当t由上面公式可以看出，如何用实验法求一阶系统的传递函数G(s)？如稳态值B(t)为k,0.632B(t)时的时间t=T,则传递函数为：1T)(sksG对系统输入一单位阶跃信号测出响应曲线稳态值0.632倍的稳定值或t=0时的斜率求得时间常数即能求得传递函数可求得w(t)可求得xou(t)w(t)=xou′(t)L-1[Xou(s)]=L-1[G(s)*1/s]=xou(t)斜率1/T10.632ATtxou(t)Ttouetx/10系统的时间响应—响应组成及一阶系统例1：已知系统的单位脉冲响应函数为：tteetw5.02.0510求：(1)求系统的传递函数;(2)确定系统的单位阶跃响应达到稳态值的95%所需要的时间解：（1）因为系统的单位脉冲响应是系统传递函数拉氏反变换，故1.07.04.0155.052.01051025.02.0ssssseeLtwLsGtt（2）由于单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，因此单位阶跃响应就是单位脉冲响应的积分；则稳态值：设，单位阶跃响应达到稳态值95%时的时间t=ts，