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七年级数学最基本的图形——点和线华东师大版【本讲教育信息】一、教学内容最基本的图形——点和线二、知识要点1.知识点概要⑴在现实情境中理解点、线段、射线、直线等简单的平面图形。⑵了解两点之间线段最短，两点确定一条直线的事实。⑶会用度量的方法、叠合的方法比较两条线段的长短。⑷理解线段中点的概念以及图形的几何意义。2.重点难点⑴重点：线段、射线、直线的相关概念及表示方法、有关性质。⑵难点：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”在生活中的应用、线段中点的几何意义及其应用。三、考点分析（一）直线的相关知识1.生活中的形象：一根拉得很紧的线、笔直的铁路、纸的折痕等。2.直线的表示方法：⑴用表示它上面任意两点的两个大写字母表示。如图可记为“直线AB”或“直线BA”；⑵用一个小写字母表示。如图可记为“直线l”。3.直线的基本性质（公理）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。4.直线性质的应用：木工师傅画线，日常生活中往墙上钉木条等。5.点与直线的位置关系：⑴点在直线上（或直线经过这个点）；⑵点不在直线上（或点在直线外，或直线不经过这个点）。（二）射线的相关知识1.生活中的形象：手电筒射出的一束光线、激光灯的光束。2.射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点。3.射线的表示方法：（1）用两个大写字母表示射线，射线端点的字母应写在前面，如图可记为“射线AB”；（2）用一个小写字母表示。如射线l。（三）线段的相关知识1.生活中的形象：一根竹竿、一支铅笔、一段走廊等。2.线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。3.线段的表示方法：⑴用表示它的两个端点的两个大写字母表示。如图可记为线段AB或线段BA。⑵用一个小写字母表示。如“线段l”。4.线段的基本性质（公理）：两点之间，线段最短。5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点。6.线段性质的应用：晒衣绳，铺设水管。线段的度量和比较：叠合法（即将两条线段叠合起来，这时两线段的一对端点应重合）和度量法（即用刻度尺分别量出线段的长度进而比较量数的大小）来比较大小的7.两点间的距离：连结两点的线段的长度叫做两点间的距离。（四）直线、射线、线段三者的联系和异同1.三者的联系：直线和射线、线段是整体与部分的关系。射线和线段都是直线的一部分。线段向一方延长可得射线，向两方延长可得直线；射线反向延长可得直线。在射线上取一点可得线段，在直线上取一点可得两条射线，取两点可得一条线段。2.相同点：它们都是由无数个点构成的，都是直的，都没有粗细。3.不同点：无论是表示线段、射线，还是直线，都要在字母前面注明“线段”、“射线”或“直线”；用两个大写字母表示线段或直线时，两个字母地位平等，可交换位置，而表示射线的两个大写字母不能交换位置，必须把表示端点的字母写在前面。具体如下表所示：线段射线直线图形表示线段AB射线AB直线AB几个端点2个1个0个能否延伸不能向一边无限延伸向两边无限延伸能否度量能不能不能ABABAB（五）常用知识点：1.若直线l上有n个点，则可得2n条射线；可得(1)2nn条线段。2.平面上有n（n≥2）个点（其中任三点不在同一直线上），则最多可确定(1)2nn条直线；每两点连成一条线段，最多可连成(1)2nn条；最多可确定(1)nn条射线。四、典例精析例1.已知数轴的原点为O，如图，点A表示2，点B表示－12。⑴数轴是什么图形？⑵数轴在原点O左边的部分（包括原点）是什么图形，怎样表示？⑶数轴上不小于－12，且不大于2的部分是什么图形，怎样表示？分析：图中只有点、线，故存在的图形应从直线、射线、线段考虑，结合这三者的特征分析，可解决问题。解：⑴数轴是一条直线；⑵数轴在原点O左边的部分（包括原点）是一条射线，表示为射线OB；⑶轴数上不小于－12，且不大于2的部分是一条线段，表示为线段AB或线段BA。例2.读句画图：如图所示，已知平面上五个点。⑴画直线AB、DE⑵画线段AC、BE⑶画射线AD、DC、CE；⑷如图，其中能用图中字母表示的线段有_____条，分别是，射线有___条，分别是。分析：直线向两边无限延伸，射线从端点向一边无限延伸，线段不延伸。解：⑴、⑵、⑶如右图所示，⑷7，线段AB、AD、AC、DE、CE、CD、BE，7，射线AB、BA、AD、ED、DE、DC、CE。例3.下列说法正确的是（）A.线段AB是A、B两点的距离；B.两点的距离是一个正数，也是一个图形；C.在所有连接两点的线中距离最短；D.在连接两点的所有线中，最短的一条的长度就是两点的距离。分析：线段AB是图形，A、B两点间的距离是量，因此A不正确；两点的距离不是图形，因此B是错误的；线和距离不能比较，因而C也不正确；在联接两点的所有线中，最短的一条是连结这两点的线段，连结两点的线段的长度就是这两点的距离。解：D例4.线段AB＝8cm，BC＝5cm，那么线段AC的长度是（）A.13cmB.3cmC.3cm或13cmD.无法确定分析：求线段的和或差，这两条线段必须放在同一条直线上，本题中线段AB和线段BC是否在同一条直线上不确定，因此，线段AC不一定是线段AB和线段BC的和或差。解：D。例5.（2008，巴中市）如图，“吋”是电视机常用尺寸，1吋约为大拇指第一节的长，则7吋长相当于（）A.一支粉笔的长度B.课桌的长度C.黑板的宽度D.数学课本的宽度分析：可用尺量出图中1吋的长度，再算出7吋的大致长度，最后对照题中实物，与7吋的大致长度较接近的，便是合适的选项。解：D。例6.如图：这是A、B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A、B两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出。并说明你的理由。分析：解决问题的关键是使A、B两地之间的公路最短，因此可以利用线段的性质解之。解：如图所示：理由：两点之间的所有连线中，线段最短。例7.如图，A、B、C、D、E是同一直线上的五个点。⑴图中共有几条射线？在不增加字母的情况下，能读写出的射线共有几条？是哪几条？⑵图中共有几条线段？分析：由射线的含义可知，只有端点相同且延伸方向相同的射线才是同一条射线；由线段的含义可知，两个端点确定一条线段。解：⑴因直线上的一个确定的点将该直线分为两条射线，故图中共有10条射线，在不增加字母的情况下，能读写出来的射线共有8条，即射线AB、射线BA、射线BC、射线CB、射线CD、射线DC、射线DE、射线ED。⑵以A为左端点的线段是AB、AC、AD、AE；以B为左端点的线段是BC、BD、BE；以C为左端点的线段是CD、CE；以D为左端点的线段是DE。故图中共有10条线段。例8.如图长度为12cm的线段，AB的中点M。C点把线段MB分成MC：CB＝1：2。则线段AC的长度是（）A.2cmB.8cmC.6cmD.4cm分析：考查线段的中点及线段的计算，由图可知AC＝AM＋MC，由AB的中点M得AM＝12AB＝6cm因为MC：CB＝1：2所以MC＝13MB＝16AB＝2cm所以线段AC＝2＋6＝8cm。解：B。例9.已知：线段AB＝100cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝15cm，求AP的长。分析：根据题意中的所在直线就已经定性了，P点可能在直线上，也可能在延长线上。所以分情况讨论。解：⑴如图1，当P在线段AB上，且点N在点M的左侧，则AP＝2AN＝2（AM－MN）＝2（12AB－MN）＝2（50－15）＝70。⑵如图2，当P在线段AB的延长线上，有N点在M点的右侧则AP＝2AN＝2（AM＋MN）＝2（12AB＋MN）＝2（50＋15）＝130。所以AP的长为70㎝和130㎝。例10.如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…。⑴“17”在射线上。⑵请任意写出三条射线上数字的排列规律。⑶“2007”在哪条射线上？分析：这是一道有关射线的规律探索题。一般思路是：从特殊情况入手→探索发现规律→归纳猜想出结果→取特殊值代入验证。观察发现，射线OA，OB，OC，OD，OE，OF上的数是按逆时针顺序每6个数字一周期，分别是从1、2、3、4、5、6开始的，每条射线上相邻两个数字相差均为6，解：⑴因为“11”在射线OE上，故“17”也应在射线OE上。⑵射线OA上数字的排列规律：65n；射线OB上数字的排列规律：64n；射线OC上数字的排列规律：63n；射线OD上数字的排列规律：62n；射线OE上数字的排列规律：61n；射线OF上数字的排列规律：6n。⑶在六条射线上的数字规律中，64n、62n、6n均为偶数，故“2007”不可能在射线OB、OD、OF上。因为2007＋5、2007＋1均不能被6整除，而只有2007＋3能被6整除，得商为335，故“2007”在射线OC上。五、本讲数学思想方法的学习1.将数与形有机结合，解决与图形有关的数量关系问题。如根据直线、射线上的点来确定线段的条数，根据线段上的点的位置来确定有关线段的长度，根据线段的长度确定线段的位置等都是数形结合思想的运用。2.当题目所给条件不明确时，根据条件呈现的所有情况进行分类，可以达到解题的目的，如根据线段的不同位置求线段的长度。【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、细心选一选（每题2分，共20分）1.关于直线，射线，线段的描述正确的是（）A.直线最长，线段最短B.直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点C.射线是直线长度的一半D.直线、射线及线段的长度都不确定。2.下列说法正确的是（）A.延长直线ABB.延长射线ABC.延长线段AB到点CD.射线AB就是射线BA3.如图，下列说法中正确说法的个数是（）①直线AB和直线BA是同一条直线②射线AB与射线BA是同一条射线③线段AB和线段BA是同一条线段④图中有两条射线ABA.0B.1C.2D.34.下列关于中点的说法，正确的是（）A.如果MA＝MB，那么点M是线段AB的中点B.如果MA＝AB，那么点M是线段AB的中点C.如果AB＝2AM，那么点M是线段AB的中点D.如果M是线段AB上的一点，并且MA＝MB，那么点M是线段AB的中点5.关于两点之间的距离，下列说法不正确的是（）A.连结两点的线段就是两点之间的距离B.连结两点的线段的长度，是两点之间的距离C.如果线段AB＝AC，那么点A到点B的距离等于点A到点C的距离D.两点之间的距离是连接这两点的所有的线的长度中，长度最短的6.如图，以A、C、D、E、B为端点组成的线段共有（）条。A.5B.10C.15D.207.点A、B、C在一条直线上，并且BCAB21，则（）A.AC＝3ABB.AC＝2ABC.AC＝ABD.AC与AB长度的比值不能确定8.按照下面长度，A、B、C在同一条直线上的是（）A.AB＝4，BC＝6，AC＝10B.AB＝5，BC＝5，AC＝7C.AB＝10，BC＝8，AC＝9D.AB＝15，BC＝5，AC＝199.若M是AB的中点，C是MB上任意一点，那么与MC相等的是（）A.21（AC－BC）B.21（AC＋BC）C.AC－21BCD.BC－21AC10.已知AB＝10cm，在AB的延长线上取一点C，使AC＝16cm，那么线段AB的中点与AC的中点的距离为（）A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm二、仔细填一填：（每题2分，共20分）11.把线段向一个方向延长，得到的是______；把线段向两个方向延长，得到的是_____。12.经过两点，且一条直线。13.把一根木条钉牢在墙壁上需要__________个钉子，其理论依据是__________。14.如图1，直线AB也可以说成直线BA，即用两个字母表示的直线与字母的_______无关。BA图115.手电筒发出的光束，舞台上的光束，投影仪的光都给人一种__________的形象。16.为了比较线段AB和线段CD的大小，把线段CD移到线段AB上，使点C与点A重合。（1）当点D落在线段AB上时，AB____CD；（2）当点D与点B重合时，AB_