20192020年中考数学专题复习九年级数学一次函数的图象和性质人教四年制知识精讲

九年级数学一次函数的图象和性质人教四年制【同步教育信息】一.本周教学内容一次函数的图象和性质二.学习要点1.一次函数定义：如果bkxy（k、b是常数，0k）那么y叫x的一次函数。说明：（1）一次函数的解析式的形式是bkxy，是关于x的一次二项式。其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数；即判断一个函数是否为一次函数，就是判断能否化成以上形式：（2）bkxy当0b时而0k即kxy仍是一次函数。2.正比例函数定义：当0b时，一次函数bkxy就成了kxy（0k常数）这时y叫x的正比例函数，k叫比例系数。3.正比例函数与一次函数的关系（1）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数；（2）一次函数bkxy（0k，k、b为常数）当0b时它是一次函数当0b时它是正比例函数4.正比例函数性质：kxy（1）当0k时，y随x增大而增大，0k时，y随x增大而减小。（2）正比例函数的图象是经过)0,0(、),1(k的两条直线。【典型例题】[例1]设有三个变量x、y、z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数。（1）求证：z是x的正比例函数（2）如果1z时，4x求出这个z关于x的函数解析式。解：（1）根据题意：设xky1①ykz2②其中01k，02k，1k、2k为常数将①代入②得xkkz12即xkkz)(21③∵01k02k∴021kk1k、2k为常数由定义知z是x的正比例函数（2）由1z时4x代入xkkz)(21解：4121kk∴所求函数为xz41说明：本题所设1k2k必须为不为零的常数，应在括号内注明。[例2]已知一次函数12xy（1）若自变量x的范围是21x，求函数y的范围。（2）若函数y的范围是21y求自变量x的取值范围。解：（1）∵12xy又21x则由12xy得yx2121∴221211y即2212112121yy解得33y（2）∵21y∴2121x即212112xx解得121x[例3]已知5y与43x成比例，当1x时2y。求：（1）y与x的函数关系式；（2）求当1x时的函数值；（3）如果y的取值范围是50y求x取值范围。解：（1）设所求函数为)43(5xky（0k的常数）∵当1x时2y代入则)413(52k得1k∴所求函数为13xy（2）将1x代入13xy得4y（3）∵50y∴5130x解得231x[例4]一次函数abxbay)(，其中a、b是直角三角形的两条直角边，斜边中线长为5，三角形面积为4，求这个一次函数的解析式。解：∵斜边中线长为5∴斜边长为52∴222)52(ba2022ba又∵421ab∴8ab∴202)(2abba∴36)(2ba6ba∴所求函数为86xy用待定系数法确定函数的解析式：我们知道要确定一个一次函数)0(kbkxy只需确定k和b的值，即确定两个待定的参数。这就需要两个独立的几何条件，利用待定系数法确定参数k、b值。待定系数法定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出所求函数解析式的方法。[例5]两个一次函数它们的一次项系数互为倒数，常数项互为相反数，又分别经过)1,1(和)4,6(两点，求这两个函数的解析式。解：设所求的两个函数分别为bkxy和bxky1∵函数的图象经过)1,1(和)4,6(两点∴这两点的坐标必满足函数解析式∴bkbk641消去b得0652kk21k32k当21k时11b32k时22b∴所求两函数分别为12xy和121xy及23xy和231xy[例6]一次函数图象过)2,1(A点，它与x轴交点横坐标与y轴交点的纵坐标之和为2，求：这个二次函数解析式解：设所求函数解析式为bkxy（0k）∵图象过)2,1(点∴代入所设解析式得bk2∴kb2图象与x轴交点横坐标为：令0y则kbx与y轴交点纵坐标为：令0x则by∴2kbb又∵kb2∴222kkk则21k12k∴41b12b∴所求函数为：42xy和1xy说明：将x、y的几对值，或图象上几个点的坐标代入解析式，得到以待定为未知数的方程或方程组，然后解方程求未知数的方法是待定系数法的核心。[例7]一次函数的图象与x轴交于)0,(A，),0(B而、是方程0132mxx的根且5AB，求m值与一次函数解析式解：依题意13m又∵5AB∴522即52)(25)1(29m∴1m∴23解得12或21∴)0,2(A)1,0(B或)0,1(A)2,0(B将两点坐标代入bkxy求b、k当图象过)0,2(A)1,0(B求得121xy当图象过)0,1(A)2,0(B时得22xy[例8]一次函数12xy的图象与x轴交于A点与y轴交于B点，而一次函数bkxy的图象过点C和B。若C点与A点关于y轴对称，求k、b值。解：12xy令0y得21x∴)0,21(A令0x得1y∴)1,0(B又∵C点与A关于y轴对称∴)0,21(C那么一次函数bkxy过)1,0(B)0,21(C将两点坐标代入bkxy121001bbkbk2k∴所求2k1b[例9]已知直线bkxy，经过点)0,25(且与坐标轴所围成的三角形面积为425，求一次函数解析式。分析：因为一次函数的图象是一条直线，且直线过)0,25(点，将点代入解析式得k、b的方程，再与坐标轴围成的三角形面积为425得k、b另一个方程。解：∵直线经过)0,25(∴bk250①又可求直线bkxy与x、y轴交点：令0y则kbx∴)0,(kbA令0x则by∴),0(bB∵425ABOS∴4252121bkbOBOASABO即42521bkb②由①式得kb25代入③即425252521kkk则2k∴2k故5b∴所求函数解析式为52xy或52xy说明：要注意kbOAbOB中绝对值不能省略基础练习：1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）51xy（2）5xy（3）12xy（4）xy513（5）)2)(1(2xxxy（6）12yx（7）100xy解：（1）一次函数；（2）正比例函数；（3）不是一次函数；（4）一次函数；（5）一次函数；（6）不是一次函数；（7）不是一次函数2.函数xy21经过点（0,0）与点（2,1），y随x增大而增大函数421xy经过点（0,4）与点（2,5）y随x增大而增大3.已知19922)127(mmxmmy当m为何值时，y是x的正比例函数。分析：由定义知，x的次数必须等于1，一次项系数不能为零。则60127119922mmmmm【模拟试题】一.选择题1.下列函数中，正比例函数中（）A.22xyB.xy2C.)3(2xyD.xky2（0k，k为常数）2.在下列函数中，是一次函数的为（）A.xy21B.23xyC.)1(2xxxyD.2)1(xy3.下面各题，成正比例关系的有（）A.人的身高与体重B.正三角形面积与它的边长C.买同一练习本所需的钱数和所买的本数D.从甲地到乙地，所用时间和行驶的速度4.下列比例式中，变量y与x成正比例的是（）A.3:2:yxB.3:2:)1(yxC.yx2:33:2D.)2(:33:2yx5.下列命题正确的是（）A.正方形面积为S，边长为a，则S与a成正比例B.正方形面积为S，周长为C，则S与C成正比例C.正方形的周长为C，边长为a，则C是a的一次函数，但不是正比例函数D.正方形的周长为C，边长为a，则C是a的一次函数，也是正比例函数6.已知函数)32()1(2mmxmy为正比例函数，则m的值为（）A.1B.3C.1或3D.这样的m不存在7.下列说法中，正确的为（）A.一次函数是正比例函数B.正比例函数是一次函数C.正比例函数不是一次函数D.不是正比例函数就不是一次函数8.已知my2与mx53成正比例，且当153mx时，22my，及1x时，2y，则y等于（）A.1123xB.1123xC.1123xD.13x二.填空题1.已知函数1212mmxymm，当m时，表示y是x的正比例函数，此时函数关系式为；当m时，表示y是x的一次函数，此时函数解析式为。2.一次函数baxy中，a，b，当0b，这个函数变成，因此正比例函数是一次函数的。3.在函数xy31，321xy，31xy，322xy，)3(2xy中，正比例函数是，一次函数是。4.当n时，函数752)2(nnxny是正比例函数。5.若点)2,1(及)3,(m都在正比例函数kxy图象上，则m。6.已知y与3x成正比例，且4x时，3y，则5.2x时，y。7.y与2)1(x成正比例，且2x时，3y，那么34y时，x。8.某种国库券的年利率为9.18%，则存满三年的本息和y与本金x之间的函数关系式为。9.一个长为m120，宽m100的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加xm，宽增加ym，则y与x的函数关系式是，自变量的取值范围是，且y是x的函数。10.某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出，100分钟可以流尽，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分）之间的函数关系式是，自变量t的取值范围是。三.解答题已知正比例函数2)1(2932aaxayaa的图象经过（1,2ma）求此点坐标。试题答案一.1.D2.C3.C4.D5.D6.B7.B8.D二.1.1；xy；2或1；32xy2.0；任意实数；正比例函数；特例3.xy31；321xy，)3(2xy，xy314.35.236.237.18.)0(%18.93xxxy9.20xy；0x；一次10.tQ2.020；（1000x）三.解：∵函数为正比例函数∴219302)(0122aaaaaa∴原函数为xy3∴点)1,2(ma为)1,4(m将)1,4(m代入xy3得121m∴点为)12,4(