初三数学二次函数;用函数观点看一元二次方程人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容:1.二次函数2.用函数观点看一元二次方程二、重点、难点:二次函数的概念、图像及性质【典型例题】例1、已知:函数122)3(mmxmy是二次函数.(1)求函数解析式;解:根据二次函数的定义,有230(1)212(2)mmm由(2)解得m=3,m=-1.由(1)知,m≠3.所以m=-1.所以函数解析式为y=-4x2.答案:函数解析式为y=-4x2.(2)写出开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出草图;答案:因为a=-4<0,所以开口向下;对称轴是y轴;顶点坐标为(0,0);函数图像如图,(3)x为何值时,y随x的增大而增大?x为何值时,y随x的增大而减小?答案:当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.例2、将抛物线22xy如何平移可得到抛物线1422xy()A.向左平移4个单位,再向上平移1个单位B.向左平移4个单位,再向下平移1个单位C.向右平移4个单位,再向上平移1个单位D.向右平移4个单位,再向下平移1个单位答案:向右平移4个单位,再向下平移1个单位.因此选D.例3、二次函数9)2(32xy图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为()A.开口向下、对称轴为2x、顶点坐标(2,9)B.开口向下、对称轴为2x,顶点坐标(2,9)C.开口向上,对称轴为2x,顶点坐标(-2,9)D.开口向上,对称轴为2x,顶点坐标(-2,-9)答案:B.例4、已知二次函数215222yxx(1)求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值;分析:用配方法或公式法都可迅速得到这三个结果.求一个二次函数的顶点坐标,对称轴和最值要熟练掌握.答案:顶点坐标(-2,-4.5),对称轴:直线x=-2;因为二次项系数大于0,所以函数有最小值-4.5.(2)求出抛物线与x轴、y轴交点坐标;解:令y=0,则2152022xx,解得x=-5,x=1.所以抛物线与x轴的交点坐标为(-5,0),(1,0).令x=0,则y=52.所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,52)点评:要熟练掌握抛物线与x轴、y轴的交点坐标的求法.(3)作出函数图象,并观察图象,x为何值时,y0;x为何值时,y0;x为何值时,y=0.分析:画函数图象是一项非常重要的基本功.画示意图时,需要充分利用二次函数的对称性.答案:如图.利用函数图像,可以得到当x>1或x<-5时,y0;当-5<x<1时,y0;当x=-5,x=1时,y=0.例5、已知:抛物线228yxx.(1)求证:此抛物线与x轴一定有两个交点;分析:判断抛物线与x轴的交点问题,常通过计算判别式来作出判断.答案:因为△=22-4×(-8)=36>0,所以抛物线与x轴有两个交点.(2)若此抛物线与x轴的两个交点分别为A、B,且它的顶点为C,求△ABC的面积.分析:要求△ABC的面积,可先确定线段AB的长度,然后以AB为底,以顶点C的纵坐标的绝对值作为AB边上的高,利用面积公式求出.在这里,有一个数形结合的问题,要注意坐标与线段的相互转化.答案:因为A、B两点的坐标分别为(-4,0),(2,0),所以AB=6.顶点坐标为(-1,-9).所以S△ABC=1692=27.例6、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是()ABCD答案:D例7、(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案:A(2)如图,二次函数2yaxbxc的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交于负半轴.(1)给出四个结论:①0a;②0b;③0c;④0abc.其中正确结论的序号是;答案:①④(2)给出四个结论:①0abc;②20ab;③1ac;④1a.其中正确结论的序号是.答案:②③④例8、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上(不与A、B重合),分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.(1)用含y的代数式表示AE,得AE=________.(2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围.(3)设四边形DECF的面积为S,求出S的最大值.解:(1)AE=8-y(2)∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC∴四边形DECF是矩形.∴DF=EC,DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴DEAEBCAC∵DE=x,BC=4,AC=8,AE=8-y∴848xy∴y=8-2x,(0<x<4.)(3)∵四边形DECF是矩形,∴S=DE×DF=xy=x(8-2x)=-2x2+8x.∵a=-2<0,∴当x=2时,S最大=8.例9、如图,已知抛物线L1:y=x2-4的图像与x轴交于A、C两点,(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点一定为D,求证:点D在l2上;(3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由.分析:(1)问中求l2的解析式要充分应用l2与l1关于x轴对称这一特点.(2)问中验证点在函数图像上,在综合题中很常见,是必须要掌握的基本方法.(3)问是一个开放性的问题,需要比较扎实的基本功和一定的处理最值问题的技巧.解:(1)设l2的解析式为y=a(x-h)2+k∵l1与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4)∴y=ax2+4∴0=4a+4得a=-1∴l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1,y1)∵点B在l1上∴B(x1,x12-4)∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称∴B、D关于O对称∴D(-x1,-x12+4).将D(-x1,-x12+4)的坐标代入l2:y=-x2+4∴左边=右边∴点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2×S△ABC=AC×|y1|=4|y1|a.当点B在x轴上方时,y1>0∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,∴S既无最大值也无最小值b.当点B在x轴下方时,-4≤y1<0∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,∴当y1=-4时,S有最大值16,但它没有最小值此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.∴AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形此时S最大=16.点评:这是一道很有意思的题.(1)问一般的同学都会很快得出答案,但要写出解题过程,部分同学就会感到困难.(2)问比较常见,但需要将B点坐标利用B、D关于原点对称转化为D点坐标,这是一个比较重要的技巧,需要熟练掌握.(3)问中处理最值问题的手段值得借鉴,认真反思,应该有许多收获.【模拟试题】(答题时间:40分钟)一、选择题1、若y=(2-m)23mx是二次函数,且开口向上,则m的值为()A.5B.-5C.5D.02、直线y=2x-1与抛物线y=x2的交点坐标是()A.(0,0),(1,1)B.(1,1)C.(0,1),(1,0)D.(0,-1),(-1,0);3、如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为()A.6B.4C.3D.14、若ab>0,函数y=ax2与y=ax+b的图象大致是()5、二次函数y=x2+4x+a的最小值是2,则a的值是()A.4B.5C.6D.76、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有()A.a>0,b>0B.a>0,c>0C.b>0,c>0D.a、b、c都小于07、关于函数y=2x2-8x,下列叙述中错误的是()A.函数图象经过原点B.函数图象的最低点是(2,-8)C.函数图象与x轴的交点为(0,0),(4,0)D.函数图象的对称轴是直线x=-28、若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为()A.13B.10C.15D.14二、填空题9、抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2),则平移后的解析式为______________;10、将抛物线2(1)yx向左平移1个单位后,得到的抛物线的解析式是.11、抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是x=_________,顶点坐标是12、已知抛物线y=4x2-11x-3,求它与x轴、y轴的交点坐标三、解答题13、已知二次函数34)1(2xxmy的图象与x轴交于点A和B,与y轴交于点C.(1)求点C的坐标;(2)若点A的坐标为(1,0),求二次函数的解析式;(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点P,使以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.15题试题答案一、1、B2、B3、C4、D5、C6、C7、D8、B二、9、y=2(x+1)2-8;10、y=-x2;11、x=-1,(-1,3);12、与x轴的交点坐标为(-0.25,0),(3,0),与y轴的交点坐标为(0,-3).三、13、(1)C(0,-3);(2)将(1,0)代入34)1(2xxmy中,得m=2,所以二次函数的解析式为243yxx;(3)存在这样的点P,它的坐标分别为(0,1),(0,-1),(0,9),(0,-9).