20192020年中考数学专题复习九年级数学弦切角相交弦定理割线定理切割线定理首师大版知识精讲

九年级数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理（一）弦切角：1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切。判断下列图形中的∠BAC是不是弦切角：图A中，缺少“顶点在圆上”的条件；图B中，缺少“一边和圆相交”的条件；圆C中，缺少“一边和圆相切”的条件；圆D中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件。所以，图中的∠BAC都不是弦切角。2.分类（以圆心的位置分）：（1）圆心在角的外部；（2）圆心在角的一边上；（3）圆心在角的内部。3.弦切角的度理定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。推论1：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。推论2：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。（二）相交弦定理圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。如图1（1），在⊙O中，AB、CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD。（三）割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图1（3），有PA·PB＝PC·PD。（四）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图1（4），有PA2＝PC·PD。当点P从圆内运动到圆上、圆外时（从图1（1）到图1（3）），总有PA·PB＝PC·PD，图1（2）中，点B、D与点P重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD同样成立。当割线PBA绕着点P旋转到切线PA的位置时，点B与A重合，结论不变，仍有PA·PB＝PC·PD，此时PA＝PB，所以PA2＝PC·PD。当割线PDC也变为切线PC时，总有PA·PB＝PC·PD，因为PC＝PD，PA＝PB，所以PA2＝PC2，即PA＝PC，此为切线长定理。当图1（1）中的两条相交弦的位置调整为：其中一条为直径，另一条弦与直径垂直，根据相交弦定理，同样有PA·PB＝PC·PD，又根据垂径定理，有PA＝PB，所以有PA2＝PC·PD。在上面的图形变化中，点P的位置和AB、CD的位置在不断地变化，而变化中有不变量，即PA·PB＝PC·PD的关系是不变的。我们应抓住图形的本质特征，我们把相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理。二.重点、难点：重点是弦切角及其应用，相交弦、割线、切割线定理及其应用。难点是灵活应用三个定理证明等积线段问题，及三个定理之间的内在联系。【例题分析】例1.如图2，已知PA与⊙O切于点A，PO交⊙O于点B，AB＝BP，求∠P的度数。解：连结OA∵PA切⊙O于点APAOPABO9012，ABBPPPABPO12POP9030例2.如图3（1），已知AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，CD切⊙O于D，DE⊥AB于E。求证：∠1＝∠2分析：要证∠1＝∠2，能否直接应用定理去证？或者转化，找中间量，寻找第三角。证法一：连结OD，如图3（2）∵CD切⊙O于D∠（切线的性质）ODC90∠∠290ODB又DEAB∠∠190OBD在⊙O中，OD＝OB∠∠ODBOBD∠∠12证法二：连结AD，如图3（3）∵AB是⊙O的直径∠ADB90DEAB∠∠1A又∵CD切⊙O于D∠∠（弦切角定理）2A∠∠12证法三：延长DE交⊙O于F，连结BF，如图3（4）∵AB是⊙O的直径，且AB⊥DFDBBF（垂径定理）∴DB＝BF则∠1＝∠F∵CD是⊙O的切线∴∠2＝∠F（弦切角定理）∴∠1＝∠2证法四：过点B作⊙O的切线，交CD于M，如图3（5）∵AB是⊙O的直径∴AB⊥BM（切线的性质）又DE⊥AB∴DE∥MB∴∠1＝∠DBM又∵CD切⊙O于D∴∠2＝∠MBD（弦切角定理推论）∴∠1＝∠2证法五：连结OD，过B作BN⊥CD于N，如图3（6）∵CD切⊙O于D∴OD⊥CD（切线的性质）∴OD∥BN则∠ODB＝∠DBN在⊙O中，OD＝OB∴∠ODB＝∠OBD∴∠DBN＝∠OBD∴∠1＝∠2（等角的余角相等）习题：由此题的各种解法可以得出圆中哪些常用的辅助线？如图3（7），学习过程中要不断总结经验，进行知识的归纳总结，从而得到提高。例3.已知AB是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠TAB＝110°，点C在圆周上，但与A、B两点不重合，求∠ACB的度数。分析：本题应分为两种情况，如图4（1）所示：当点在上时，由弦切角定理可知：⌒CAmBACBTAB118018011070如图（）所示，当点在上时，由弦切角定理可知：⌒42CABACBTAB110所以，∠ACB的度数等于70°或110°例4.如图5（1），已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°。（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD＝AC·BC，为什么？分析：（1）由弦切角定理可得：∠ACM＝∠B又AB是直径，∴∠B＝90°－∠A而∠A已知，故∠ACM可求。（）欲使·＝·，只需2ABCDACBCABACBCCDABCACD即证，而∠，故联想到作于ABCACDACBADND~90另外也可作CE⊥AB于E，在Rt△ABC中，可得AB·CE＝AC·BC则只需在MN上截取CD＝CE，即可得AB·CD＝AC·BC解：（1）∵AB是直径∠ACB90又∠A28∠B62∵MN是切线，C为切点∠∠（切割线定理）ACMB62（2）证法一：在MN上存在符合条件的点D过点A作AD⊥MN，垂足为D，如图5（1）在和中，RtABCRtACD∵MN切半圆ACB于点C∴∠B＝∠ACDABCACD~ABACBCCD∴AB·CD＝AC·BC证法二：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在MN上截取CD＝CE，如图5（2）：SACBCABCEABC1212ACBCABCECDCEABCDACBC例5.已知点P不在⊙O上，过点P作直线交⊙O于A、B两点，若⊙O的半径为r，OP＝d。求证：PA·PB为定值分析：由点与圆的位置关系可知，点P与⊙O的位置有两种情况：点P在⊙O内和⊙O外。由相交弦定理和割线定理计算PA·PB的值为常数。解：当点P在⊙O内时，如图6（1）：延长PO交⊙O于C点，延长OP交⊙O于D点根据相交弦定理，得：PAPBPCPDPOrrPOPAPBdrrdrd22当点P在⊙O外时，如图6（2）：设OP与⊙O交于点D，延长PO交⊙O于点C由割线定理，得：PAPBPCPDOPrOPrdrdrdr22PAPBrd22即PA·PB为定值例6.已知：如图7，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，直线TD交⊙O1于M、D两点，切⊙O2于T点，M为TD的中点，延长BA交TD于点C，若CT＝4cm，求CM的长。分析：依题意，由切割线定理和割线定理可得：CTACBCCMCDACBC2，故CTCMCD2又CT已知，且M为TD的中点，所以CDCMMDCMMTCMCT2从而CTCMCMCT22解这个关于CM的方程即可求出CM的长。解：∵CT切⊙O2于点TCTCACB2（切割线定理）又∵CM·CD＝CA·CB（割线定理）CTCMCD2∵M是TD的中点∴DM＝MTCDDMCMMTCMCMCTCMCMCT2CTCMCMCT22设，CMxCT442428022xxxx，即解方程得：，（不合题意，舍去）xx1224CMcm2【模拟试题】一.选择题。1.已知弦切角等于36°，它所夹的弧对的圆心角的度数是（）A.72°B.54°C.36°D.18°2.在⊙O中，BAC84，则弦AB所对的圆周角等于（）A.42°B.84°C.84°或96°D.42°或48°3.两条弦相交，其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条弦被交点分为1：4两部分，则这条弦长为（）A.12cmB.10cmC.8cmD.2cm4.从圆外一点向半径为8的圆作切线，若切线长为16，则这点到圆的最短距离是（）A.858B.858C.838D.85.如图，PC切⊙O于点C，PAB和PDE是⊙O的割线，弦CG交PB于点F，则下列等式：（1）PCPDPE2，（2）CF·FG＝AF·FB，（3）PA·AB＝PD·DE，（4）PA·PB＝PD·PE，正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知圆外切四边形的周长为24cm，相邻三边的比为5：4：7，则这个四边形的最长边为（）A.16cmB.11cmC.10cmD.8cm7.如图，PAD和PCB是⊙O的两割线，AB、CD交于⊙O内一点Q，连结AC、BD，则图中相似三角形的对数有（）对A.2B.3C.4D.58.如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，过点B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于点E，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是（）A.30B.45C.50D.609.如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AD为⊙O的直径，直线MN切⊙O于B，DC的延长线交MN于G，若cosABM32，则tanBCG的值为（）A.33B.32C.1D.310.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，C是AB⌒上一点，已知⊙O的半径为r，PO＝2r，设PACPBC，APB，则与的大小关系是（）A.B.C.D.不确定二.填空题。11.在⊙O中，AB是直径，AD是弦，过B点的切线交AD的延长线于点C，若AD＝DC，则∠ABD＝__________度。12.如图，AD、CD、CB分别与⊙O相切于A、E、B三点，且AD＝4，BC＝7，AB为直径，则DE＝__________，AB＝___________。13.四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，MC切⊙O于点C，交AB的延长线于M，BCM36，则∠ABC＝________，∠D＝__________，∠M＝_________。14.如图，ABC的三边AB、BC、CA分别切⊙O于D、E、F点，AB＝7，AC＝5，BC＝8，则AD＝_______，BE＝________，EC＝_________。15.如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D三点在BD⌒上，过点A的切线FA交CB的延长线于点P，如果ABBC12，SABCD平行四边形8，那么SAPB_________。三.解答题。16.如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OA为直径的圆交⊙O于点D，EB⊥AB于B交AD的延长线于E点。（1）求证：AE切⊙O于点D；（2）若AC＝2，且AC、AD的长是关于x的方程xkx2450的两根，求EB的长；（3）当点O位于线段AB何处时，ODC恰好是等边三角形？17.如图，已知PA切⊙O于A，割线PCD交⊙O于C、D，弦AB⊥PC交PD于E，且AE＝EC，APD30，若⊙O的半径长为3，求弦AB的长及SABC。试题答案一.选择题。1.A2.D3.B4.B5.C6.D7.C8.A9.D10.B提示：2.如图，点D可以在AmB⌒上即D1，也可以在AB⌒上即D2，所以圆周角ADBBAC184，或ADBBAC21801808496，应选D。3.设这条弦被分成的两部分的长为xcm和4xcm根据相交弦定理，有442xxx2（舍负）则这条弦长为xxxcm4510应选B4.如图，过O、P作直线，交⊙O于B、C两点，则点P到⊙O的最短距离即为PB的长由切割线定理，得：PAPBPC2设PBx，则16162xx