2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题03函数的应用

函数的应用【2020年高考考纲解读】1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．【重点、难点剖析】热点一函数的零点1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．【题型示例】题型一函数的零点例1、(1)方程4sinπx＝21－x在[－2,4]内根的个数为()A．6B．7C．5D．8答案D解析由原方程得2sinπx＝11－x，同一坐标系中作出函数y1＝11－x和y2＝2sinπx的图象如图所示．由图象可知，共有8个交点，故选D.(2)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(1－x)，且当x∈[－4,1)时，f(x)＝1x－1，g(x)＝2sinωx是以1为最小正周期的函数，则函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[－3,5]的所有零点之和等于()A．17B．16C．4D．2答案A所以可作出当x∈[－3,5]时，函数f(x)与g(x)的图象如图所示，根据两个函数图象的交点及函数图象的对称性可设交点的横坐标由左到右依次为x1，x2，x3，…，x16，交点的横坐标间的关系为x1＋x16＝2，x2＋x15＝2，x3＋x14＝2，…，x8＋x9＝2，所以F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[－3,5]的所有零点之和等于1＋x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x15＋x16＝1＋2×8＝17，故选A.【感悟提升】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定．(2)零点个数的确定．(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．【变式探究】(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝x2＋2，x∈[0，，2－x2，x∈[－1，，且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有()A．3个B．2个C．1个D．0个答案B解析由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象，图中，g(3)＝3－log231＝f(3)，g(5)＝3－log251＝f(5)，可得有两个交点，所以选B.(2)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝12log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是()A．5B．6C．7D．8答案A解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．题型二函数的零点与参数的范围例2、(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案C解析令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.【变式探究】(2018·天津)已知a0，函数f(x)＝x2＋2ax＋a，x≤0，－x2＋2ax－2a，x0.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．答案(4,8)解析作出函数f(x)的示意图，如图．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意．由y＝ax，y＝－x2＋2ax－2a，消去y，整理得x2－ax＋2a＝0.由Δ1＝0，得a＝8(a＝0舍去)．由y＝ax，y＝x2＋2ax＋a，消去y，整理得x2＋ax＋a＝0.由Δ2＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上，得4a8.【感悟提升】(1)方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数．(2)关于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y＝f(x)的值域．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝2x，x2，－x－2＋2，x≥2，若关于x的方程f(x)－k＝0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是________．答案[0,1)∪(2，＋∞)解析画出函数f(x)＝2x，x2，－x－2＋2，x≥2的图象如图所示，结合图象可以看出当0≤k1或k2时符合题设．【变式探究】已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝1fx，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．答案(3,5)解析∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝1fx，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝1fx－＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2，在区间[－1,3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．当0a1时，函数图象无交点，数形结合可得a1且loga31，loga51，解得3a5.题型三函数的实际应用问题例3、经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为：y＝175x2－130x＋，x∈[50，，12－x60，x∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·120x.①当x∈[50,80)时，l＝y·120x＝85x＋4900x－130≥852x×4900x－130＝16，当且仅当x＝4900x，即x＝70时，l取得最小值16.②当x∈[80,120]时，l＝y·120x＝1440x－2为减函数．当x＝120时，l取得最小值10.因为1016，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少．【感悟提升】(1)解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？(2)设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能使该单位不亏损.