2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形【2020年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.【重点、难点剖析】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.4．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.5．三角形面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝α－β2－α2－β等．7．解三角形的四种类型及求解方法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.【题型示例】题型一、三角变换及应用【例1】(1)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2等于()A.539B．－33C.7327D．－69(2)若cos2αsinα－π4＝－24，则cosα＋sinα的值为()A．－22B．－14C.14D.22答案C解析∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22()sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－24，∴cosα＋sinα＝14.【变式探究】【2017山东，文7】函数最小正周期为A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】C【解析】因为,所以其周期2ππ2T,故选C【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为θ＋π4－π2.由题意知sinθ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cosθ＋π40，所以cosθ＋π4＝1－sin2θ＋π4＝45.tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－1tanθ＋π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43速解法：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α，∴θ＝α－π4，∴tanθ－π4＝tanα－π2＝－tanπ2－α.如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sinα＝35可得，BC＝3，AB＝5，AC＝4，∴∠B＝π2－α，∴tanB＝43，∴tanB＝－43.答案：－43(2)若tanα＞0，则()A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0解析：基本法：由tanα＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin2α＝2sinαcosα知sin2α＞0，C正确；α取π3时，cos2α＝2cos2α－1＝2×122－1＝－12＜0，D错．故选C.速解法：∵tanα＝sinαcosα＞0，即sinαcosα＞0，∴sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.答案：C【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.答案D【变式探究】(2015·四川，12)sin15°＋sin75°的值是________．解析sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.答案62【举一反三】(2015·江苏，8)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．解析∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2＋tanβ1＋2tanβ＝17，解得tanβ＝3.答案3【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________．解析因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.答案1题型二、正、余弦定理的应用【例2】(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－17.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．解(1)在△ABC中，因为cosB＝－17，所以sinB＝1－cos2B＝437.由正弦定理得sinA＝asinBb＝32.由题设知π2∠Bπ，所以0∠Aπ2，所以∠A＝π3.(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝3314，所以AC边上的高为asinC＝7×3314＝332.【变式探究】【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________.【答案】75°【解析】由题意：，即，结合bc可得45B，则.【变式探究】【2016高考山东文数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12（Ⅱ）由（Ⅰ）知2abc,所以，当且仅当ab时，等号成立.故cosC的最小值为12.【举一反三】(2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．解析S＝12AB·AC·sinA，∴sinA＝32，在锐角三角形中A＝π3，由余弦定理得BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝7.答案7【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________．解析因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.答案1【举一反三】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa＋cosBb＝23sinC3a.(1)求角B的大小；(2)已知asinCsinA＝4，△ABC的面积为63，求边长b的值．解(1)由已知得bcosA＋acosB＝233bsinC，由正弦定理得sinBcosA＋cosBsinA＝233sinBsinC，∴sin(A＋B)＝233sinBsinC，又在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sinB＝32，∵0Bπ2，∴B＝π3.(2)由已知及正弦定理得c＝4，又S△ABC＝63，B＝π3，∴12acsinB＝63，得a＝6，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b＝27.【变式探究】△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．【解析】解(1)由cosA＝1213，且0Aπ，得sinA＝1－12132＝513.又S△ABC＝12bcsinA＝30，所以bc＝156，所以AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144.(2)由(1)知bc＝156，又cosA＝1213，c－b＝1，在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×1－1213＝25，所以a＝5。【规律方法】求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求AB→·AC→，需要求出bc，由三角形的面积及cosA，可求出sinA，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．题型三、解三角形【例3】(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案233解析∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC0，∴sinA＝12.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝82bc＝4bc0，∴cosA＝32，bc＝4cosA＝833，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×833×12＝233.【变式探究】(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，所以tanB＝3.又因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝217.因为ac，所以cosA＝277.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(