2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题16直线与圆

直线与圆【2020年高考考纲解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．【重点、难点剖析】一、直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2(A2＋B2≠0)．(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(A2＋B2≠0)．二、圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．三、直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，dr⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1＋r2⇔两圆外离．(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．(3)|r1－r2|dr1＋r2⇔两圆相交．(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切．(5)0≤d|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．【高考题型示例】题型一、直线的方程及应用例1、已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0【解析】由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－1kPQ＝－14－21－3＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.【答案】A【方法技巧】(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.【变式探究】(1)已知直线l1：x·sinα＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α等于()A.23B．±35C．－35D.35答案D解析因为l1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝35.(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．答案32【感悟提升】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【变式探究】(1)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________．答案6π(2)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是()A．(－3，－1)∪(1,3)B．(－3,3)C．[1,1]D．[－3，－1]∪[1,3]答案D解析圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆x2＋y2＝2有公共点，r′＝2，所以r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].【变式探究】已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆C的切线的方程是()A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0解析：解法一因为圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心坐标为(2,3)，半径为4.如图，在平面直角坐标系中画出圆C，显然过点M的圆C的其中一条切线的方程为x＋2＝0，另一条切线的斜率小于0，可知选C.解法二因为圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心坐标为(2,3)，半径为4，易得过点M的圆C的其中一条切线的方程为x＋2＝0，设另一条切线的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则|2k－3＋2k|k2＋1＝4，解得k＝－724，故另一条切线的方程为y＝－724(x＋2)，即7x＋24y＋14＝0.综上，选C.答案：C