2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题17圆锥曲线

圆锥曲线【2020年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．二、圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．三、直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．【高考题型示例】题型一、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)[2018·天津卷]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1【解析】如图，不妨设A在B的上方，则Ac，b2a，Bc，－b2a.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝bc－b2＋bc＋b2a2＋b2＝2bcc＝2b＝6，∴b＝3.又由e＝ca＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝3.∴双曲线的方程为x23－y29＝1.故选C.①②联立，解得a＝3且b＝4，可得双曲线的方程为x29－y216＝1.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x答案C解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.设||BF＝a，则由已知得||BC＝2a，由抛物线定义，得||BD＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵||AE＝|AF|＝3，||AC＝3＋3a，|AC|＝2|AE|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1，||FC＝3a＝3.∴p＝||FG＝12||FC＝32，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.题型二圆锥曲线的几何性质例2、(2018·北京)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，双曲线N：x2m2－y2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．答案3－12解析方法一双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，则nm＝tan60°＝3，∴双曲线N的离心率e1满足e21＝1＋n2m2＝4，∴e1＝2.由y＝3x，x2a2＋y2b2＝1，得x2＝a2b23a2＋b2.如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.∴4a2b23a2＋b2＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－6b2a2－b2a22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M的离心率e2满足e22＝1－b2a2＝4－23.∴e2＝3－1.方法二双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，则nm＝tan60°＝3.又c1＝m2＋n2＝2m，∴双曲线N的离心率为c1m＝2.如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋3＝2a，∴a＝1＋32.∴椭圆M的离心率为c2a＝21＋3＝3－1.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→等于()A．5B．6C．7D．8答案D解析由题意知直线MN的方程为y＝23(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得y＝23x＋，y2＝4x，解得x＝1，y＝2或x＝4，y＝4.不妨设点M的坐标为(1,2)，点N的坐标为(4,4)．又∵抛物线的焦点为F(1,0)，∴FM→＝(0,2)，FN→＝(3,4)．∴FM→·FN→＝0×3＋2×4＝8.故选D.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于()A.32B．3C．23D．4答案B解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±13x.设两渐近线的夹角为2α，则有tanα＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝3.则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝3·tan60°＝3.故选B.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(2017·全国Ⅱ)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________．【变式探究】(1)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝35，则椭圆E的离心率为()A.12B.23C.32D.22答案D解析设|F1B|＝k()k0，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.∵cos∠AF2B＝35，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．∴c＝22a，椭圆的离心率e＝ca＝22.(2)已知双曲线M：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，||F1F2＝2c.若双曲线M的右支上存在点P，使asin∠PF1F2＝3csin∠PF2F1，则双曲线M的离心率的取值范围为()A.1，2＋73B.1，2＋73C．(1,2)D.(]1，2答案A解析根据正弦定理可知sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝|PF2||PF1|，所以|PF2||PF1|＝a3c，即|PF2|＝a3c|PF1|，||PF1||－PF2＝2a，所以1－a3c||PF1＝2a，解得||PF1＝6ac3c－a，而||PF1a＋c，即6ac3c－aa＋c，整理得3e2－4e－10，解得2－73e2＋73.又因为离心率e1，所以1e2＋73，故选A.【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式探究】(1)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案D解析如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝|PB||AB|＝3a＋2＝36，解得a＝4，所以e＝ca＝14.故选D.(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为2c，直线l过点23a，0且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝423c，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±2xD．y＝±4x答案B解析方法一由题意可设渐近线方程为y＝bax，则直线l的斜率kl＝－ab，直线l的方程为y＝－abx－23a，整理可得ax＋by－23a2＝0.焦点(c,0)到直线l的距离d＝ac－23a2a2＋b2＝ac－23a2c，则弦长为2c2－d2＝2c2－ac－23a22c2＝423c，整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，即e4－9e2＋12e－4＝0，分解因式得()e－1()e－2()e2＋3e－2＝0.又双曲线的离心率e1，则e＝ca＝2，所以ba＝c2－a2a2＝ca2－1＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±3x.方法二圆心到直线l的距离为c2－223c2＝c3，∴ac－23a2c＝c3，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴c＝2a，b＝3a，∴渐近线方程为y＝±3x.题型三直线与圆锥曲线例3、(2018·全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋160，故x1＋x2＝2k2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题意知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程为x－y－1＝0.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋2＝x0－y0－22＋16，解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.【变式探究】(2018·天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝62.(1)求椭